4. Ian Stewart .The Great Mathematical Problems

Оцініть переклад/книжку

Опитування закінчилось Чет листопада 12, 2015 9:59 pm

Зміст передано точно, мова кострубата
2
40%
Зміст передано неточно, мова кострубата
0
Немає голосів
Зміст передано точно, мова добра
1
20%
Зміст передано неточно, мова добра
0
Немає голосів
Мене цікавить ця книжка/Хочу прочитати всю
2
40%
Мене не цікавить ця книжка
0
Немає голосів
Більше не перекладайте!
0
Немає голосів
 
Всього голосів: 5

Кувалда
Редактор
Повідомлень: 5524
З нами з: Сер травня 27, 2009 8:33 pm

Re: Ian Stewart .The Great Mathematical Problems

Повідомлення Кувалда » Пон листопада 17, 2014 9:42 pm

коли перекладу всю статтю, тоді вже точно скористаюся ;)
Не знаю, звідки взявся "чойс", але на твою відповідальність :ugeek: .
стосовно страшких задач: will not soon run out of daunting mathematical problems
щодо статей/статтей, то буде "статтей", бо "статей" від "статті" – це ніби як маленький лєнін в українській мові :lol: . [статей, може бути, але від слова "стать"]

Кувалда
Редактор
Повідомлень: 5524
З нами з: Сер травня 27, 2009 8:33 pm

Re: Ian Stewart .The Great Mathematical Problems

Повідомлення Кувалда » Нед листопада 23, 2014 4:53 pm

замінив відгуки, зміст, передмову. 1 розділ подам унизу. Дещо поправив. "свою праву руку" і "предмет" залишив :mrgreen: . Може, вдасться подолати кострубатість до кінця перекладу ;)
Прочитав вказаний російський переклад. Він зграбніший, але мені не подобається – місцями трохи фривольний виклад.

Зауважив, що російський переклад пропонують на цьому сайті. Не переймаються львівяни, що товар російський, що частка виручених грошей через російські ж податки піде російській же наволочі, яка приперлася і ще припреться в Україну. Це ж так класно. Сидиш собі у теплі, безпеці, попиваєш пивце-винце, попукуєш... Врешті ж гроші не пахнуть. Та й "гостинці" від "русского мира" до Львова не долітають. Харашо!
Ні, я б розумів, якби це були книжки російських опозиціонерів, чи просто тих, хто підтримує Україну. Але 85 відсотків росіян - кримнаші, і по видавництвах їх не менше.
Як сказав з подібного приводу один український солдат: "Але я ж за них, сучар, тут сиджу".

Кувалда
Редактор
Повідомлень: 5524
З нами з: Сер травня 27, 2009 8:33 pm

Re: Ian Stewart .The Great Mathematical Problems

Повідомлення Кувалда » Нед листопада 23, 2014 4:54 pm

1. ВЕЛИКІ ПРОБЛЕМИ
Телевізійні програми про математику рідкісні, добрі – ще рідкісніші. Одна з найкращих, якщо враховувати участь аудиторії, інтерес, а також зміст, була про останню теорему Ферма. Цю програму зробив Джон Лінч для провідної науково-популярної серії Бі-Бі-Сі «Горизонт» 1996 року. Саймон Сінґг, що також брав участь у її створенні, перетворив історію в захопливу щонайпопулярнішу книжку [2]. На сайті він зазначив, що приголомшливий успіх програми став сюрпризом:
«Це було 50 хвилин математиків, що говорять про математику, неочевидний рецепт для телевізійного блокбастеру, але результатом стала програма, що захопила уяву публіки і здобула визнання критиків. Програма виграла премію БАФТА (BAFTA) за найкращий документальний фільм, приз Італії (Prix Italia), інші міжнародні премії і була номінована на Емі (Emmy). Це доводить, що математика може бути як емоційна, так і захоплива, як і будь-який інший предмет на планеті».
Думаю, що є кілька причин успіху як цієї телевізійної програми, так і книжки, і вони мають значення для історії, яку я хочу розповісти тут. Щоб обговорення залишилося сфокусованим, я зосереджуся на телевізійному документальному фільмі.
Остання теорема Ферма – це дійсно одна з великих математичних проблем, що виникла в результаті вочевидь невинної зауваги, яку один з провідних математиків сімнадцятого століття написав на берегах сторінки класичного підручника. Проблема стала загальновідомою, бо ніхто не міг довести цю примітку П'єра де Ферма, і такий стан справ тривав понад 300 років, попри енергійні зусилля надзвичайно талановитих людей. Тому, коли британський математик Ендрю Вайлз нарешті, 1995 року, розв’язав проблему, велич його досягнення була очевидна для всіх. Вам навіть не треба було знати, в чому полягала проблема, не кажучи вже про те, як він її розв’язав. Це був математичний еквівалент першого сходження на Еверест.
На додаток до її значення для математики, розв’язок Вайлза також викликав величезний загальний інтерес. У десятирічному віці він так зацікавився проблемою, що вирішив стати математиком і розв’язати її. Він здійснив першу частину плану і став спеціялізуватися на теорії чисел, загальній галузі, до якої належить остання теорема Ферма. Але що більше він дізнавався про наявну математику, то нездійсненнішою видавалася сама справа. Теорема Ферма була якась незбагненно цікава, виокремлене питання в тому сенсі, що багато теоретиків не могли придумати хоч якусь дещицю переконливого доведення. Щодо неї не була придатна жодна потужна сукупність методів. У листі до Гайнріха Ольберса великий Ґаус відхилив її зразу ж, кажучи, що проблема становила "невеликий інтерес для мене, бо можна легко сформулювати безліч таких тверджень, яких ніхто не може ні довести, ні спростувати»[3]. Вайлз вирішив, що його дитяча мрія нездійсненна і відсунув Ферма на безрік. Але потім, немов дивом, інші математики раптом зробили важливе наукове відкриття, що зв'язало проблему з основоположною темою в теорії чисел, у якій Вайлз був уже експерт. Ґаус, що для нього нехарактерно, недооцінив значення проблеми, і не знав, що вона може бути пов'язана з глибокою, хоч вочевидь не спорідненою, галуззю математики.
При цьому зв’язок забезпечував те, що Вайлз тепер міг працювати над загадкою Ферма і робити значущі дослідження в сучасній теорії чисел водночас. Або ж ще ліпше: якщо б нічого суттєвого не вдалося з Ферма, то виявлене при спробах доведення він опублікував би окремо. Так справа дійшла до відкладеного на безрік, і Вайлз почав думати над проблемою Ферма серйозно. Після семи років одержимих досліджень, проведених конфіденційно і таємно – якісь незвичайні заходи безпеки в математиці – він переконався, що знайшов розв’язок. Він виступив з серією лекцій на престижній конференції з теорії чисел з туманною назвою, що нікого не ввела в оману[4]. Ця приголомшлива новина прорвалася в медії і зали наукових засідань: остання теорема Ферма доведена.
Доведення було приголомшливе й вишукане, повне хороших ідей. На жаль, експерти швидко виявили серйозну прогалину в його логіці. У спробах розбити великі нерозв’язані проблеми математики, такий перебіг гнітюче загальний, і він майже завжди виявляється фатальним. Проте цього разу мойри були ласкаві. За сприяння свого колишнього учня Ричарда Тейлора, Вайлзові вдалося подолати прогалину, поправити доведення і доповнити свій розв’язок. Емоційне навантаження виразно проявилося в телевізійній програмі: певно, єдиний випадок, коли математик розплакався перед камерою, просто згадуючи травматичні події і кінцевий тріумф.
Ви, може, помітили, що я не сказав вам, що являє собою остання теорема Ферма. Це навмисно, вона буде розглянута на своєму місці. Що стосується успіху телевізійної програми, це насправді не має значення. Насправді математики ніколи сильно не переймалися: істина чи хибна теорема, яку Ферма написав на берегах книжки, бо ніякий великий сенс на відповідь не спирається. Через що ж уся ця метушня? Бо якесь величезне значення міцно пов’язане з нездатністю математичної спільноти знайти відповідь. Це не просто удар по нашій самоповазі: це означає, що наявним математичним теоріям чогось важливого бракує. Крім того, теорема дуже легко сформульована; це додає їй атмосфери таємничості. Як може те, що видається таким простим, бути таке складне?
Хоча математики насправді не надто піклувалися про відповідь, вони глибоко переймалися тим, що не знали, яка вона. І вони навіть більше переймалися пошуком методу, яким можна розв’язати цю проблему, бо це має, безумовно, пролити світло не тільки на питання Ферма, але й на цілу низку інших. Таке часто буває з великими математичними проблемами: не самі по собі результати, а методи, використовувані для їх розв’язання, мають найбільше значення. Звичайно, іноді конкретний результат також має значення: це залежить від того, які його наслідки.
Вайлзів розв’язок занадто складний і технічний для телебачення. Дійсно, деталі доступні тільки спеціялістам[5]. Доведення має чудову математичну історію, як ми побачимо в свій час, але будь-яка спроба пояснити це на телебаченні може негайно призвести до втрати більшої частини аудиторії. Замість цього, програма розважливо зосереджена на особистішому питанні: на що це схоже – розв’язувати вкрай складну математичну проблему з величезним історичним багажем? Глядачам показано, що є невелика, але цілеспрямована група математиків, розкиданих по всьому світу, які глибоко цікавилися своєю галуззю досліджень, спілкувалися одне з одним, враховували праці одне одного, і присвятили більшу частину свого життя просуванню математичного знання. Вони вклали всю душу в цю справу. Це були не розумні автомати, а живі люди, захоплені своїм предметом. Така була ідея.
Ось три важливі причини, чому програма мала такий успіх: велика проблема, герой з чудовою людською історією, і емоційна підтримка захоплених людей. Але я підозрюю, була четверта, не така вже достойна. Більшість нематематиків з різних цілком розумних причин рідко чує про нові напрацювання в цьому предметі: вони в будь-якому разі не дуже зацікавлені; газети майже ніколи не згадують нічого математичного; коли ж і роблять це, то часто жартівливо або тривіяльно, і майже ніщо в повсякденному житті, здається, не залежить хоч якось від того, що роблять математики за лаштунками. Частенько шкільна математика викладена як закрита книжка, в якій кожне питання має якусь відповідь. Учні можуть легко дійти висновку, що нової математики вдень зі свічкою не знайдеш.
З цього погляду, велика новина не в тому, що остання теорема Ферма була доведена, а те, що, нарешті, хтось зробив деяку нову математику. А що вона забрала в математиків понад 300 років, щоб знайти розв’язок, то багато глядачів підсвідомо дійшли висновку, що це була перша важлива нова математика, розроблена за останні 300 років. Я не стверджую, що вони точнісінько так вважали. Така позиція уразлива, тільки-но ви поставите деякі очевидні питання, такі як: «Чому уряд тратить пристойні гроші на університетські математичні факультети?». Але підсвідомо це було загальне типове припущення, безперечне та неперевірене. Це, здається, зробило значення досягнення Вайлза ще більшим.
Одна з цілей цієї книжки – показати, що математичні дослідження процвітають, а нові відкриття роблять весь час. Ви не чуєте багато про цю діяльність, бо більшість з них занадто технічні для неспеціялістів, бо більшість медій підозріло ставиться до чого-небудь інтелектуально складнішого, ніж «Х-фактор», і тому що застосунки математики нарочито приховані, щоб не викликати тривоги. «Що? Мій айфон залежить від вищої математики? Як я писатиму у фейсбуці, коли завалив свій іспит з математики?»
Історично нова математика часто виникає з відкриттів в інших галузях. Коли Ісак (Айзек) Ньютон розробив свої закони руху та закон всесвітнього тяжіння, що разом описують рух планет, він не покінчив з проблемою пояснення Сонцевої системи. Навпаки, математикам довелося розбиратися з цілою низкою нових питань: так, ми знаємо закони, але що вони означають? Ньютон створив математичний аналіз (числення), щоб відповісти на це питання, але його новий метод також має свої обмеження. Часто він перефразовує питання замість надавати відповіді. Він перетворив проблему в особливий вид формули, що називається диференційним рівнянням, розв’язок якого становить відповідь. Але вам усе одно доведеться розв’язувати рівняння. Проте числення було чудовим початком. Він показав нам, що відповіді були можливі, й забезпечив один ефективний спосіб шукати їх, який продовжує і через 300 з гаком років забезпечувати основне опанування суті.
У міру того як сукупне математичне знання людства зростало, друге джерело натхнення почало відігравати все важливішу роль у розробленні ще більшого: внутрішніх потреб самої математики. Якщо, наприклад, ви знаєте, як розв’язувати алгебричні рівняння першого, другого, третього і четвертого ступенів, то вам не треба багато уяви, щоб запитати про п'ятий ступінь. (Ступінь – по суті, міра складності, але вам навіть не потрібно знати, що це таке, щоб поставити очевидне питання.) Якщо розв’язок виявляється невловним, як це й було, такий факт сам по собі робить математиків ще рішучішими в тому, щоб знайти відповідь, незалежно від того, чи має результат корисні застосування.
Я не стверджую, що застосування не мають значення. Але якщо якийсь математичний аспект продовжує вимальовуватися в питаннях з фізики хвиль – океанських хвиль, вібрації, звуку, світла – тоді, безумовно, є сенс досліджувати його окремо. Вам не потрібно знати заздалегідь, як саме використовуватиметься будь-яка нова ідея: тема хвиль загальна для дуже багатьох важливих галузей, бо значні нові ідеї рано чи пізно можна використати для чогось важливого. У цьому разі це щось охоплює радіо, телебачення, і радіолокацію[6]. Якщо хтось думає над якимсь новим способом пояснити тепловий потік, і придумує блискучу нову методику, якій, на жаль, бракує належного математичного забезпечення, тоді є сенс класифікувати всю цю справу як якусь частину математики. Навіть якщо ви нічогісінько не скажете про те, як тече тепло, результати цілком можуть бути застосовані деінде. Фур'є-аналіз, який виник з такої окремої сфери досліджень, можливо, найкорисніша окрема математична ідея з коли-небудь знайдених. Він лежить в основі сучасних телекомунікацій, робить можливими цифрові камери, допомагає очищати старі фільми і записи, а сучасне розширення використовує ФБР, щоб зберігати записи відбитків пальців[7].
Після кількох тисяч років такого роду обміну між зовнішнім застосуванням математики і її внутрішньою структурою, ці дві сторони так тісно переплелися, що розділити їх між собою практично неможливо. Наявні мислені ставлення легко помітні, втім, приводять до загальної класифікації математики за двома видами: чистої та застосовної (прикладної). Це виправдано як наближений спосіб, щоб розмістити математичні ідеї на інтелектуальному ландшафті, але це не надто точний опис самого предмета. У кращому разі це виокремлює два кінці безперервного спектру математичних стилів. У гіршому разі це дає неправильне уявлення, які частини предмета застосовні і звідки ідеї беруться. Як і в усіх галузях науки, що дає математиці її силу – це поєднання абстрактного міркування та натхнення від зовнішнього світу, з підживленням одне одного.
Більшість дійсно важливих математичних проблем, великих проблем, про які ця книжка, виникли в предметі через свого роду інтелектуальні роздуми самі по собі. Причина проста: вони математичні проблеми. Математика часто виглядає як набір ізольованих галузей і кожна зі своїми спеціяльними методами: алгебра, геометрія, тригонометрія, аналіз, комбінаторика, ймовірність. Її зазвичай так учать через поважну причину: розташування кожної окремої теми в одній чітко означеній галузі допомагає студентам впорядкувати в своїх головах матеріял. Це прийнятне перше наближення до структури математики, головно традиційної математики. На передньому краї досліджень, проте, це акуратне розмежування часто ламається. І не просто тому, що межі між основними галузями математики розмиті, а тому, що їх насправді не існує.
Кожен математик-дослідник знає, що в будь-який момент, раптово і непередбачувано проблема, над якою працюють, може виявитися, потребуватиме ідей з якоїсь вочевидь не пов'язаної галузі. Дійсно, нове дослідження часто поєднує галузі. Наприклад, мої власні дослідження переважно зосереджені на утворюванні структур у динамічних системах, системах, які змінюються з плином часу відповідно до певних правил. Типовий приклад – те, як рухаються тварини. Кінь, клусуючи, ногами повторює одну й ту ж послідовність рухів, знов і знов, і є чітка закономірність: ноги по діягоналі вдаряють об землю разом. Тобто спочатку передня ліва і задня права, тоді дві інші. Чи це проблема стосується шаблонів, і тоді відповідні методи беруться з теорії груп, алгебри симетрії? Чи це проблема стосується динаміки, і тоді відповідна галузь – диференційні рівняння Ньютонового типу?
Відповідь у тому, що, за означенням, вона стосується обох. Це не їхній перетин – спільний матеріял – його, по суті, нема. Натомість, це нова "галузь", яка охоплює два традиційні розділи математики. Це як міст через річку, що відділяє дві країни, він пов'язує їх, але не належить жодній. Але цей міст не тонка смуга проїзної частини; він порівнянний за розмірами з кожною з цих країн. І що суттєвіше, залучені методи не обмежуються цими двома галузями. Насправді, практично кожен курс математики, який я коли-небудь вивчав, зіграв свою роль в якому-небудь моєму дослідженні. Мій курс теорії Ґалуа для студентів-старшокурсників Кембриджу був про те, як розв’язати (точніше, чому ми не можемо розв’язати) алгебричне рівняння п'ятого ступеня. Мій курс теорії графів був про ланцюги (мережі) – точки, з'єднані лініями. Я ніколи не брав якогось курсу динамічних систем, бо моя докторська була з алгебри, але за ці роки я ознайомився з основами – від стаціонарних станів до хаосу. Теорія Ґалуа, теорія графів, динамічні системи – три окремі галузі. Десь так я вважав приблизно до 2011 року, коли захотів зрозуміти, як виявити хаотичну динаміку в мережі динамічних систем, і вирішальний поступ залежав від речей з теорії Ґалуа, про які я дізнався 45 років тому.
Математика, отже, не схожа на політичну мапу світу, де б кожна спеціяльність була з охайно обведеними чіткими межами, кожна галузь би акуратно відрізнялася від своїх сусідів, бувши забарвленою рожево, зелено або блідо-блакитно. Вона більше схожа на природний краєвид, про який ви ніколи не зможете точно сказати, де закінчується долина і починається передгір'я, де ліс переходить у лісисту місцевість, чагарники і трав'янисті рівнини, де озера вписуються водними ділянками в будь-який інший вид місцевості, де річки зв'язують снігові схили гір з далекими, низинними океанами. Але цей мінливий математичний краєвид складається не з каменів, води і рослин, а ідей, він пов’язаний не географією, а логікою. І це динамічний краєвид, який змінюється, в міру відкриття чи винайдення нових ідей та методів. Важливі поняття з обширними наслідками схожі на гірські вершини, методи з великою кількістю застосувань являють собою широкі річки, які несуть подорожніх через усі родючі рівнини. Що чіткіше визначений краєвид, то легше виявити невзяті піки чи незвідані місцевості, що створюють небажані перешкоди. З часом деякі з піків і перешкод набувають культового статусу. Це і є великі проблеми.
Що робить велику математичну проблему великою? Інтелектуальна глибина, в поєднанні з простотою і вишуканістю. Крім того, вона має бути важка. Будь-яка людина може піднятися на пагорб; Еверест же зовсім інша річ. Велика проблема зазвичай проста у формулюванні, хоча необхідні терміни можуть бути елементарні або дуже технічні. Твердження останньої теореми Ферма і проблеми чотирьох кольорів безпосередньо зрозумілі тим, хто знайомий з шкільною математикою. На відміну від них, навіть сформулювати гіпотезу Годжа або гіпотезу масової щілини без залучення глибоких понять з передового наукового краю – остання, зрештою, походить від квантової теорії поля. Однак, для тих, хто розбирається в таких галузях, виклад питання простий і природний, і не треба сторінок і сторінок незрозумілого та недоступного тексту. Серед них є проблеми, які потребують десь рівня бакалаврату з математики, якщо ви захочете зрозуміти їх з усіма подробицями. Загальніше ж сприйняття основних відомостей про проблему – звідки вона походить, чому така важлива, що могли б зробити, якщо б мали розв’язок – зазвичай доступні будь-якій зацікавленій особі, і це те, що я намагатимуся забезпечити. Я визнаю, що в цьому плані гіпотеза Годжа – міцний горішок, бо вона дуже технічна і дуже абстрактна. Проте вона одна з семи математичних проблем тисячоліття Інституту Клея, з мільйондоларовим призом на додаток, і вона, безумовно, мала бути тут вміщена.
Великі проблеми творчі: вони допомагають привнести нову математику в буття. 1900 року Давид Гільберт виступив з лекцією на Міжнародному конгресі математиків у Парижі, в якій перерахував 23 найважливіші проблеми математики. Не внісши останньої теореми Ферма, він згадав її у своєму вступному слові. Коли знаменитий математик перераховує деякі, на його думку, великі проблеми, інші математики звертають на це увагу. В списку не було неважливих і неважких проблем, і природно прийняти виклик, і спробувати відповісти на них. Відтоді розв’язання однієї з Гільбертових проблем було хорошим способом здобути собі математичну славу. Багато з цих проблем занадто технічні для розгляду тут, багато з них відкриті програми, а не конкретні проблеми, а деякі з них з’являться пізніше по праву. І все ж вони заслуговують згадки, тому я вставив їх короткий опис у примітках[8].
Це те, що робить велику математичну проблему великою. Те, що робить її проблематичною, рідко полягає в тому, якою має бути відповідь. Щодо практично всіх великих проблем математики мають дуже чітке уявлення про те, якою має бути відповідь – або була, якщо розв’язок тепер відомий. Дійсно, формулювання проблеми часто містить у собі очікувану відповідь. Усі описані як гіпотези являють собою правдоподібне припущення, засноване на низці даних. Більшість добре продуманих припущень зрештою виявляються правильними, хоч і не всі. Старі терміни на кшталт гіпотез мають той же зміст, а в разі Ферма словом «теорема» зловживали (точніше, раніше зловживали) – теорема потребує доведення, але це саме те, чого не вистачало, поки не з'явився Вайлз.
Доведення, по суті, це та вимога, що робить великі проблеми проблематичними. Будь-хто помірно компетентний може виконати декілька обчислень, визначити позірну закономірність, і перегнати її суть у змістовне твердження. Математики ж вимагають більше доказів: вони наполягають на повному, логічно бездоганному доведенні, або ж спростуванні, якщо відповідь виявиться негативною. Навряд чи можна оцінити спокусливу чарівність великої проблеми без оцінення важливої ролі доведення в математичній справі. Будь-хто може зробити обґрунтоване припущення. Що важко – довести його правильність. Або хибність.
Концепція математичного доведення змінювалася в ході історії, логічні вимоги загалом стають усе жорсткіші. Було багато високочолих філософських дискусій про природу доведення, що порушили низку важливих питань. Були запропоновані й упроваджені точні логічні означення «доведення». Те, якого ми вчимо студентів, – доведення починається з сукупності явних припущень, званих аксіомами. Аксіоми – це, так би мовити, правила гри. Можливі й інші аксіоми, але вони приводять до різних ігор. Ще Евклід, давньогрецький геометр, впровадив такий підхід до математики, і він, як і раніше, досі застосовний. Маючи умовлені аксіоми, доведення деякого твердження являє собою серію кроків, кожен з яких або логічний наслідок цих аксіом, або раніше доведених тверджень, або тих і інших водночас. По суті, математик досліджує логічний лабіринт, чиї з’єднання – твердження і чиї проходи – допустимі виснування. Доведення – це шлях через лабіринт, починаючи від аксіом. Те, що воно доводить – твердження, на якому воно завершується.
Однак це акуратне поняття доведення ще не вся історія. Це навіть не найважливіша частина історії. Це наче сказати, що симфонія всього лиш ряд музичних нот, які улягають правилам гармонії. Так випускається вся творчість. Воно не говорить нам, як знайти доведення, або навіть, як перевірити доведення інших людей. Воно не говорить нам, які місця в лабіринті значущі. Воно не говорить нам, які шляхи вишукані, а які потворні, які важливі, а які несуттєві. Це формальний, механічний опис процесу, який має багато інших аспектів, зокрема людський вимір. Доведення, знайдені людьми, а також дослідження в галузі математики не тільки питання покрокової логіки.
Беручи формальне означення доведення, можна буквально провести до доведень: що насправді буде нечитне, бо більша частину часу тратиться на приділення уваги логічним деталям, в умовах, коли результат уже перед вашими очима. Тому математики на практиці переходять до суті справи, і опускають будь-що звичайне та очевидне. Вони дають чітко зрозуміти, що тут є прогалина, вимушено користуючись типовими фразами, як «легко перевірити, що» або «стандартні розрахунки означають». Чого вони не роблять, принаймні, свідомо, це не проскакують повз логічну складність і не намагаються робити вигляд, що її нема. Насправді, компетентний математик буде виходити з того, щоб вказати саме ті частини аргументації, які логічно вразливі, і присвятить більшу частину свого часу, щоб вияснити, як зробити їх досить надійними. Виходить, що доведення, на практиці, – це математична історія зі своїм потоком розповіді. Воно має початок, середину і кінець. Часто має побічні сюжетні лінії, що виростають з основної, і кожна зі своїм власним розв’язком. Британський математик Крістофер Зеєман якось зауважив, що теорема – інтелектуальне місце спокою. Ви можете зупинитися, перевести дух, і відчути, що досягли певності. Побічна сюжетна лінія вплітається в основну історію. Доведення й іншим скидаються на розповіді: вони часто мають одного або кілька центральних персонажів – ідей, звичайно, а не людей – чиї складні взаємодії приводять до остаточного одкровення.
Як випливає з вищевказаного означення, доведення починається з деяких чітко зазначених вихідних положень, логічні наслідки виводяться послідовно і структуровано, і закінчується, хоч би що ви хотіли довести. Але доведення не просто список дедукцій, а логіка не єдиний критерій. Доведення – це історія, розказана і критично розглянута людьми, які потратили велику частину свого життя, навчаючись читати такі історії і знаходити помилки чи невідповідності: люди, основна мета яких полягає в тому, щоб довести помилку оповідача, і які володіють надприродною здатністю виявляти слабкі місця і довбати по них, поки вони не заваляться в хмарі пилу. Якщо математик стверджує, що розв’язав серйозну проблему, чи то велику, чи досить важливу, хоч і менш величну, професійний рефлекс – не кричати "ура!" і хапатися за пляшку шампанського, а спробувати його спростувати.
Хоч це може й негативно звучить, та доведення – єдиний надійний інструмент, який математики мають, щоб переконатися в тому, що сказане ними – істинне. Тому, випереджаючи таку реакцію, дослідники тратять чимало своїх зусиль, намагаючись спростувати свої власні ідеї і доведення. Тоді буде менш ніяково. Коли ж історія пережила такого роду критичне оцінення, загальна думка невдовзі сходиться на тому, що вона правильна, і в цей момент винахідник доведення дістає відповідну хвалу, довіру і винагороду. У всякому разі так це зазвичай працює, хоча, можливо, не завжди так видається людям причетним. Якщо ви близькі до діяльності, ваша картина того, що відбувається, і відстороненішого спостерігача може відрізнятися.
Як математики розв’язують проблеми? З цього приводу було кілька строгих наукових досліджень. Сучасні дослідження в галузі освіти, основані на когнітивній науці, значною мірою фокусуються на освіті не вище від рівня середньої школи. Деякі дослідження стосуються викладання математики студентам, але їх відносно небагато. Існують значні відмінності між навчанням і викладанням наявної математики та творенням нової. Багато хто з нас можуть грати на музичному інструменті, але набагато менше може створити концерт або навіть написати популярну пісню.
Коли справа доходить до творчості на найвищому рівні, велика частина того, що ми знаємо – або думаємо, що знаємо – походить від самоаналізу. Ми просимо математиків пояснити свої розумові процеси, і шукаємо загальні принципи. Одна з перших серйозних спроб з'ясувати, як математики думають, була книжка Жака Адамара «Психологія винаходження в галузі математики», вперше опублікована 1945 року[9]. Адамар проінтерв'ював провідних математиків і науковців свого часу і попросив їх описати, як вони думають, працюючи над складними проблемами. Виявилася, і то дуже переконливо, життєво важлива роль того, що через нестачу кращого терміну має бути описана як інтуїція. Деяка особливість підсвідомості керувала їхніми думками. Їхні найкреативніші ідеї не виникали завдяки покроковій логіці, а миттєвими, дикими стрибками.
Один з найдетальніших описів цього, певно, нелогічного підходу до логічних питань надав французький математик Анрі Пуанкаре, одна з чільних фігур кінця дев'ятнадцятого – початку двадцятого століть. Пуанкаре охопив більшу частину математики, заснувавши кілька нових галузей і радикально змінивши багато інших. Йому відведена важлива роль в декількох пізніших розділах. Він також написав науково-популярні книжки, і ця широта досвіду, можливо, допомогла йому досягти глибшого розуміння своїх власних мисленнєвих процесів. У всякому разі Пуанкаре був непохитний в тому, що свідома логіка була лише частина творчого процесу. Так, є часи, коли вона необхідна: вирішуючи, що проблема насправді є, і систематично перевіряючи відповідь. Але в проміжку між ними, вважав Пуанкаре, його мозок часто працював над проблемою, не даючи йому в знаки, так, що він просто не міг усвідомлювати.
В його схемі творчого процесу виділялися три ключові етапи: підготування, інкубація (обдумування) і осяяння. Підготування складається зі свідомих логічних зусиль, щоб визначити проблему, зробити точною, і атакувати її за допомогою звичайних методів. Цей етап Пуанкаре вважав необхідним: він озадачує підсвідомість і забезпечує початковий матеріял для її роботи. Інкубація відбувається, коли ви перестаєте думати про проблему, йдете і робите ще щось. Підсвідомість тепер починає поєднувати ідеї одну з одною, часто досить дикі ідеї, аж поки не почне розвиднятися. Якщо пощастить, це приводить до осяяння: ваша підсвідомість плескає вас по плечу і, так би мовити, у вашому мозку спалахує лампочка.
Цей вид творчості схожий на ходіння по канату. З одного боку, ви не розв’яжете складної проблеми, якщо не ознайомитеся з галуззю, до якої вона, як видається, належить – поряд з багатьма іншими галузями, про всяк випадок, що можуть бути пов'язані між собою або ж ні. З іншого боку, якщо ви цілком застрягнете в стандартних способах мислення, які інші вже безуспішно пробували, то ви загрузнете в розумовій колії і не виявити нічого нового. Отже, фокус у тому, щоб багато знати, усвідомлено об’єднувати, запустити свій мозок на декілька тижнів ... а потім не приділяти питанню уваги. Інтуїтивна частина вашого розуму тоді почне працювати, ідеї труться між собою, щоб бачити, чи іскрить, і повідомляє вас, коли щось знаходить. Це може відбутися в будь-який момент: Пуанкаре раптом побачив, як розв’язати проблему, що не давала йому спокою протягом кількох місяців, коли сходив з омнібуса. Срінівасі Рамануджану, індійському математикові-самоукові з талантом до видатних формул, ідеї часто приходили в мріях. Архімед славно попрацював над тим, як перевірити метал на золото, беручи купіль.
Пуанкаре постарався підкреслити, що прогрес без початкового періоду підготування малоймовірний. Підсвідомість, наполягав він, багато потребує для роздумів, інакше випадкові комбінації ідей, які в кінцевому підсумку приводять до розв’язку, не зможуть сформуватися. Піт породжує натхнення. Він, як будь-який творчий математик, також мав знати, що такий простий триступеневий процес рідко відбувається тільки раз. Розв’язання проблеми часто потребує більше ніж одного прориву. Інкубаційний етап для однієї ідеї може бути перерваний допоміжним процесом підготування, інкубації та осяяння для того необхідного, щоб перша ідея запрацювала. Розв’язання будь-якої проблеми варте її родзинки, велика вона чи ні, і зазвичай охоплює багато таких послідовностей, вкладених одна в одну, немов один із складних фракталів Бенуа Мандельброта. Ви розв’язуєте проблему, розбиваючи її на підпроблеми. Ви переконуєте себе, що якщо ви зможете розв’язати ці підпроблеми, то ви зможете зібрати результати, щоб розв’язати її всю цілком. Тоді ви працюєте над підпроблемами. Іноді ви розв’язуєте одну, іноді ви зазнаєте невдачі, і доцільний новий підхід. Іноді сама підпроблема розбивається на більше частин. Це може бути непростим завданням просто відстежувати хід дій.
Я описав роботу підсвідомості як «інтуїції». Це одне з таких же спокусливих слів, як «інстинкт», що широко вживане, хоча позбавлене будь-якого реального сенсу. Це назва чогось особливого, чию наявність ми визнаємо, але яке ми не розуміємо. Математична інтуїція – це здатність розуму відчувати форму і структуру, щоб виявляти закономірності, які ми не можемо вбачати свідомо. Інтуїції бракує кришталевої чистоти свідомої логіки, але вона це надолужує, звертаючи увагу на речі, які б ми ніколи свідомо не розглянули. Неврологи тільки починають розуміти, як мозок виконує набагато простіші завдання. Проте інтуїція працює, вона повина бути наслідком структури мозку і того, як він взаємодіє з зовнішнім світом.
Часто ключовий внесок інтуїції в тому, щоб змусити нас усвідомити слабкі місця у проблемі, місця, де вона може бути уразлива до атак. Математичне доведення подібне до битви або, якщо ви віддаєте перевагу менш войовничій метафорі, гри в шахи. Після того, як буде визначене потенційне слабке місце, технічне розуміння математиком математичного апарату може бути використане. Подібно до Архімеда, якому потрібне було тверде місце для опори, щоб він міг зрушити Землю, математикові-дослідникові необхідний спосіб, щоб прикласти важільне зусулля до проблеми. Одна ключова ідея може розкрити її, роблячи її вразливою до стандартних методів. Потім це просто справа техніки.
Мій улюблений приклад такого роду важелів – головокрутка, що не має внутрішнього математичного сенсу, але допомагає усвідомити ідею. Припустімо, ви маєте шахову дошку, з 64 квадратами, і якусь кількість доміно належного розміру, щоб покрити дві сусідні клітинки дошки. Тоді просто покрити всю дошку 32 камінцями. Але тепер припустімо, що два діягонально протилежні кутки дошки були видалені, як показано на рис. 1. Можна решту 62 квадрати покрити за допомогою 31 камінця? Якщо ви поекспериментуєте, нічого, здається, не вийде. З іншого боку, важко виявити якусь очевидну причину, чому завдання невиконанне. Аж поки ви не зрозумієте, що коли камінці розташовані, кожен з них має покривати один чорний квадрат і один білий. Це ваш важіль; все що вам потрібно зробити зараз – застосувати його. Це означає, що будь-яка ділянка, покрита камінцями, містить однакову кількість чорних і білих квадратів. Але протидежні квадрати по діягоналі того ж кольору, тому видалення двох з них (тут білих) приводить до форми, де на два чорних квадрати більше, ніж білих. Тому така форма не може бути покрита. Спостереження щодо поєднання кольорів, яких покриває будь-який камінець, – слабке місце в головокрутці. Це дає вам місце, щоб встановити логічного важелья і натиснути. Якщо б ви були середньовічним бароном, що нападає на замок, то це було б слабке місце в стіні – місце, де ви мали б сконцентрувати вогневу міць ваших требушет або прорити тунель, щоб підірвати її.

Рис. 1. Чи можете ви покрити зламану шахову дошку камінцями доміно, кожним при цьому покриваючи два квадрати (вгорі праворуч)? Якщо ви зафарбуєте камінець доміно (внизу праворуч) і порахуєте, скільки є чорно-білих квадратів, то відповідь очевидна.

Одна важлива річ, якою математичне дослідження відрізняється від бою: будь-яка територія, яку ви колись зайняли, залишається вашою назавжди. Ви можете вирішити сконцентрувати свої зусилля де-небудь в іншому місці, але як тільки теорема доведена, вона більше не втрачається. В результаті математики досягають прогресу з проблемою, навіть якщо вони не в змозі розв’язати її. Вони встановлюють новий факт, який потім доступний усім, щоб використовувати взагалі будь-як. Часто стартовий майданчик для нового штурму довговічної проблеми виявляється в результаті раніше не поміченого самоцвіта наполовину схованого в безформній купі відсортованих/змішаних фактів. І це одна з причин, чому нова математика може бути важлива сама по собі, навіть якщо її використання відразу не очевидне. Це ще один шматок території зайнятої, ще одна зброя в арсеналі. Її час ще може настати – але це, звичайно, якщо вона не буде визнана «незастосовною» і забута, або ж ніхто не припустить, що він настане, бо ніхто не зможе побачити, що вона потрібна.

[1] Німецький оригінал: «Wir müssen wissen. Wir werden wissen». Це було в промові, що Гільберт записав на радіо. Див. Constsnce Reid, Hilbert, Springer, Berlin, 1970, page 196.
[2] Simon Singh, Fermat's Last Theorem, Fourth Estate, 1997.
[3] Gauss, letter to HeinrichJlbers, 21 March 1816.
[4] Вайзлова назва була «Модулярні криві, еліптичні форми і представлення Ґалуа».
[5] Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem, Annals of Mathematics 141 (1995) 443–551.
[6] Ian Stewart, Seventeen Equations that Changed the World, Profile 2012, розділ 11.
[7] Там же, розділ 9.
[8] Гільбертові проблеми і їхній теперішній статус, трохи зредаговані з «Professor Stewart's hoard of mathematical treasures», Profile, 2009:
1. Континуум-гіпотеза: чи є нескінченне кардинальне число строго між потужностями цілих і дійсних чисел? 1963 року розв'язав Пол Коен – відповідь залежить від того, які аксіоми використовуються для теорії множин.
2. Логічна несуперечливість аритметики: довести, що стандартні аксіоми аритметики ніколи не можуть привести до суперечності. 1931 року розв'язав Курт Ґедель: неможливо зі звичайними аксіомами теорії множин.
3. Рівність об’ємів тетраедрів: якщо два тетраедри мають однаковий об'єм, то чи завжди можна розрізати один з них на кінцеве число багатокутних шматочків, і зібрати їх, щоб утворити другого? 1901 року розв’язав Макс Ден, негативно.
4. Пряма лінія як найкоротша відстань між двома точками: виразити аксіоми геометрії в термінах вищенаведеного означення «прямої лінії» та дослідити наслідки. Занадто широка, щоб мати остаточний розв’язок, але багато чого досягнуто.
5. Групи Лі, без припущення про диференційовність: технічні проблеми в теорії груп перетворень. В одній з інтерпретацій 1950 року розв’язав Ендрю Ґлісон, в іншій – Гідегіко Ямабе.
6. Аксіоми фізики: розроблення строгої системи аксіом математичних галузей фізики, таких як ймовірність і механіка. 1933 року Андрєй Колмоґоров аксіомував ймовірність.
7. Ірраціональні і трансцендентні числа: довести ірраціональність або трансцендентність певних чисел. 1934 року розв’язали Алєксандр Ґельфонд і Теодор Шнайдер.
8. Риманова гіпотеза: довести, що всі нетривіяльні нулі Риманової дзета-функції лежать на критичній лінії. Дивіться розділ 9.
9. Закони взаємності в числових полях: узагальнити класичний квадратичний закон взаємності, стосовно квадратів за якимсь модулем, на вищі степені. Частково розв’язана.
10. Визначити, коли діофантове рівняння має розв’язки: знайти алгоритм, який при пред'явленні алгебричного рівняння з багатьма змінними, визначає, чи існують які-небудь розв’язки в цілих числах. 1970 року Юрій Матіясевіч довів неможливість такого.
11. Квадратичні форми з алгебричними числами як коефіцієнтами: технічні питання про розв’язок діофантових рівнянь з багатьма невідомимими. Часткова розв’язана.
12. Теорема Кронекера про абелеві поля: технічні питання, що узагальнюють теорему Кронекера. Досі не розв’язана.
13. Розв’язання рівнянь сьомого ступеня за допомогою спеціяльних функцій: довести, що загальне рівняння сьомого ступеня не може бути розв’язана за допомогою функції двох змінних. Одну інтерпретацію спростували Андрєй Колмоґоров і Владімір Арнольд.
14. Скінченність повних систем функцій: поширити теорему Гільберта про алгебричні інваріянти на всі групи перетворень. 1959 року Масайосі Наґата довів хибність.
15. Лічильне числення Шуберта: Герман Шуберт знайшов нестрогий метод для підрахунку різних геометричних конфігурацій. Зробити метод строгим. Досі нема повного розв’язку.
16. Топологія кривих і поверхонь: скільки компонент зв’язності може мати алгебрична крива заданого порядку? Скільки різних періодичних циклів може мати алгебричне диференційне рівняння заданого ступеня? Обмежений прогрес.
17. Вираження певних форм квадратами: якщо раціональна функція завжди набуває невід'ємних значень, чи повинна вона бути сумою квадратів? Розв’язали Еміль Артин, Д.В.Дюбуа і Альбрехт Пфістер. Істинна для дійсних чисел, хибна в деяких інших числових системах.
18. Заповнення простору багатогранниками: загальні питання про заповнення простору конгруентними багатогранниками. Також згадується гіпотеза Кеплера, не доведена, див. розділ 5.
19. Аналітичність розв’язків у варіяційному численні: варіяційне числення відповідає на питання на кшталт: знайти найкоротшу криву з зазначеними властивостями. Якщо така проблема визначена хорошими функціями, чи має розв’язок також бути хороший? Довели Еніо де Джорджі 1957 року і Джон Неш.
20. Крайові задачі: обґрунтувати розв’язання диференційних рівнянь фізики, всередині деякої області простору, коли задані особливості розв’язання на краю цієї області. По суті, розв’язали численні математики.
21. Існування диференційних рівнянь із заданою монодромією: особливий тип комплексного диференційного рівняння можна зрозуміти через його особливі точки і його групу монодромії. Довести, що може бути будь-яка їх комбінація. Відповідь "так" чи "ні" залежить від інтерпретації.
22. Уніформізація за допомогою автоморфних функцій: технічне питання про спрощення рівнянь. Розв'язав Павло Кебе невдовзі після 1900 року.
23. Розвиток варіяційного числення: Гільберт звернувся до свіжих ідей у варіяційному численні. Багато чого зроблено; питання занадто розпливчасте, щоб вважати розв’язаним.
[9] Перевидана як: Jacques Hadamard, The Psychology of Invention in the Mathematical Field, Dover, 1954.

Кувалда
Редактор
Повідомлень: 5524
З нами з: Сер травня 27, 2009 8:33 pm

Re: Ian Stewart .The Great Mathematical Problems

Повідомлення Кувалда » Нед листопада 23, 2014 4:57 pm

Я продовжу перекладати, а ви, шановні форумці, голосуйте. Це просто. Поставте галочку - та й по всьому :mrgreen: Не бійтеся.
Охочі долучитися до перекладу, давайте знати - вишлю текст ;)

Andriy
Адміністратор сайту
Повідомлень: 3038
З нами з: Сер травня 27, 2009 8:23 pm

Re: Ian Stewart .The Great Mathematical Problems

Повідомлення Andriy » Нед листопада 30, 2014 12:09 am

Я не фахівець, і чесно кажучи, тріжки важко читати текст, але мені важко сказати чи це через переклад, чи тема/оригінал важкі теж, чи просто в мене недосипання і діти не дають зосередитися більше ніж на 2 хв :)
Тому вибрав «мова кострубата», але можна це як цілий голос не зараховувати, може як половину :)
І ще, може додати щось вибір на штиб «може бути, працюй далі перекладаче і вдосконалюйся»? ;)

Кувалда
Редактор
Повідомлень: 5524
З нами з: Сер травня 27, 2009 8:33 pm

Re: Ian Stewart .The Great Mathematical Problems

Повідомлення Кувалда » Нед листопада 30, 2014 1:05 pm

Дякую, Андрію ;) Оригінальна мова неважка, але в деяких місцях закручена. Хоча є вже 1 розділ в російському перекладі тут. Охочі можуть порівняти.
Я не ризикую сильно відхилятися від оригіналу, тому з одного боку це впливає на зграбність [хоч я не писатель, тому зі зграбністю у будь-якому разі не складеться :mrgreen: ] , а з іншого, нема відсебеньок. Я почитав два десятки сторінок російського перекладу, перекладачі розкутіші, але що стосується саме математичної суті, то "вільностей" у трактуванні нема. Принаймні поки. Не знаю, як у подальшому російському тексті. Я ж потрачу час на український варіянт, може, визграбнішає :mrgreen:
Приклад
One recent piece of algebra, carried out by a team of some 25 mathematicians, was described as ‘a calculation the size of Manhattan’. That wasn’t quite true, but it erred on the side of conservatism. The answer was the size of Manhattan; the calculation was a lot bigger. That’s impressive, but what matters is quality, not quantity. The Manhattan-sized calculation qualifies on both counts, because it provides valuable basic information about a symmetry group that seems to be important in quantum physics, and is definitely important in mathematics.
Так, про одно недавнее алгебраическое исследование, проведенное командой из 25 математиков, какой-то шутник сказал: «Расчет размером с Манхэттен». Но и это не совсем верно — ребята поскромничали. Размером с Манхэттен у них был ответ, а расчет занимал гораздо больше места. Впечатляет, не правда ли? Но главное в математических исследованиях все-таки качество, а не размер и даже не количество. Расчет размером с Манхэттен, о котором шла речь, котируется в обоих отношениях, поскольку дает важную информацию о группе симметрии, играющей существенную роль в математике и, судя по всему, в квантовой физике.
Одну з останніх частин алгебри, що завершила команда десь з 25 математиків, описано як «обчислення розміром з Мангетен». Не зовсім точно, але похибка допущена у бік заниження. Відповідь – розміром з Мангетен; а обчислення – набагато більше. Це вражає, але справа в якості, а не кількості. Обчислення розміром з Мангетен відповідає обом вимогам, бо забезпечує цінну базову інформацію про групу симетрії, що, видається, важлива в квантовій фізиці й, безумовно, важлива в математиці.

Відповісти

Повернутись до “Пропоновані до видання книжки”