Взаємозв'язок між математикою та фізикою

Кувалда · Суб листопада 01, 2025 1:37 am

Пол Дірак

Лекція, прочитана під час вручення премії Джеймза Скота, 6 лютого 1939 р.
Опубліковано в: Proceedings of the Royal Society (Edinburgh) Vol. 59, 1938—39, Part II pp.
122—129. http://152.84.50.234/fisica/Cursos/c201 ... (1939).pdf

Фізик, вивчаючи природні явища, має два методи досягнення прогресу: (1) метод експерименту та спостереження, і (2) метод математичного міркування. Перший метод полягає лише у збиранні дібраних даних; другий дає змогу робити висновки про експерименти, які не були проведені. Немає логічної причини, чому другий метод взагалі повинен бути можливим, але на практиці виявлено, що він працює і досягає підставового успіху. Це слід пояснити деякими математичними властивостями Природи, які випадковий її спостерігач не помітить, але які, втім, відіграють важливу роль у системі Природи.
Можна описати математичну якість Природи, сказавши, що Всесвіт побудований так, що математика — корисний інструмент для його опису. Однак останні досягнення фізичної науки показують, що таке твердження занадто тривіальне. Зв'язок між математикою та описом Всесвіту набагато глибший, і його можна оцінити лише після ретельного вивчення різних фактів, що його утворюють. Головна мета моєї доповіді — надати вам таку оцінку. Я пропоную розглянути, як погляди фізиків на цю тему поступово змінювалися під впливом останніх досягнень у фізиці, а потім я хотів би трохи поміркувати про майбутнє.
Візьмімо за відправний пункт ту схему фізичної науки, яка була загальноприйнята в минулому столітті, — механістичну. Вона розглядає весь Всесвіт як динамічну систему (звісно, надзвичайно складну динамічну систему), що підпорядковується законам руху, які за своєю суттю ньютонівські. Роль математики в цій схемі полягає в тому, щоб представити закони руху рівняннями та отримати розв'язки рівнянь, що відповідають спостережуваним умовам.
Домінантна ідея в цьому застосуванні математики до фізики — те, що рівняння, які представляють закони руху, повинні мати просту форму. Весь успіх цієї схеми пояснюється тим, що рівняння простої форми, видається, працюють. Отже, фізик забезпечений принципом простоти, який він може використовувати як інструмент дослідження. Якщо він отримує з деяких грубих експериментів дані, що згрубша відповідають певним простим рівнянням, він робить висновок, що, якщо він проведе експерименти точніше, то отримає дані, які будуть точніше відповідати рівнянням. Однак цей метод досить обмежений, бо принцип простоти застосовується тільки до фундаментальних законів руху, а не до природних явищ загалом. Наприклад, грубі експерименти щодо взаємозв'язку між тиском і об'ємом газу за фіксованої температури дають результати, що відповідають законові оберненої пропорційності, але було б неправильно робити висновок, що точніші експерименти підтвердять цей закон з більшою точністю, бо тут маємо справу з явищем, яке не пов'язане безпосередньо з фундаментальними законами руху.
Відкриття теорії відносності зробило необхідним модифікувати принцип простоти. Імовірно, один з фундаментальних законів руху — закон гравітації, який, за Ньютоном, представлений дуже простим рівнянням, але, за Айнштайном, потребує розроблення складної техніки, перш ніж його рівняння можна буде навіть записати. Виходячи з вищої математики, дійсно можна навести аргументи на користь того, що закон гравітації Айнштайна насправді простіший за закон Ньютона, але це передбачає досить тонке трактування поняття простоти, що значною мірою знецінює практичну цінність принципу простоти як інструменту дослідження основ фізики.
Те, що робить теорію відносності такою прийнятною для фізиків, дарма що вона суперечить принципові простоти, — це її велика математична краса. Ця якість не піддається означенню, так само як і краса в мистецтві, але люди, які вивчають математику, зазвичай не мають труднощів з її оціненням. Теорія відносності ввела математичну красу безпрецедентним обсягом в опис Природи. Обмежена теорія змінила наші уявлення про простір і час так, що можна підсумувати, що група перетворень, якій підпорядковується просторочасовий континуум, мусить бути змінена з Ґалілеєвої групи на Лоренцову. Остання група набагато красивіша за першу — насправді першу математично можна назвати виродженим особливим випадком останньої. Загальна теорія відносності передбачала ще один крок досить схожого характеру, хоча цього разу збільшення краси зазвичай вважається не таким значним, як у разі обмеженої теорії, що приводить до того, що в загальну теорію не так же твердо вірять, як в обмежену теорію.
Тепер ми бачимо, що нам потрібно змінити принцип простоти на принцип математичної краси. Дослідник, прагнучи виразити фундаментальні закони Природи в математичній формі, повинен насамперед прагнути математичної краси. Він все одно повинен враховувати простоту, але вона має бути підпорядкована красі. (Наприклад, Айнштайн, вибираючи закон гравітації, взяв найпростіший, сумісний з його просторочасовим континуумом, і досяг успіху). Часто буває так, що вимоги простоти і краси збігаються, але там, де вони суперечать одна одній, перевага мусить надаватися останній.
Перейдімо до другої революції у фізичній думці нинішнього століття – квантової теорії. Це теорія атомних явищ, заснована на механіці, яка істотно відрізняється від Ньютонової. Різницю можна виразити стисло, але досить абстрактно, сказавши, що динамічні змінні у квантовій механіці підпорядковуються алгебрі, в якій не діє комутативна аксіома множення. Окрім цього, існує надзвичайно тісна формальна аналогія між квантовою механікою та старою механікою. Насправді вражає те, як стара механіка пристосовується до узагальнення некомутативної алгебри. Усі витончені риси старої механіки можна перенести до нової механіки, де вони знову постають з іще більшою красою.
Квантова механіка вимагає введення в фізичну теорію величезної нової галузі чистої математики — всієї галузі, пов'язаної з некомутативним множенням. Це, на додаток до введення нових геометрій теорією відносності, вказує на тенденцію, що, як ми можемо очікувати, продовжуватиметься. Ми можемо очікувати, що в майбутньому доведеться залучити ще більші галузі чистої математики, щоб впоратися з досягненнями фундаментальної фізики.
Чиста математика і фізика стають все тісніше пов'язаними, хоча їхні методи залишаються різними. Можна описати ситуацію так: математик грає в гру, правила якої він сам вигадує, а фізик грає в гру, правила якої встановлює Природа, але з плином часу стає все очевиднішим, що правила, які цікавлять математика, збігаються з тими, які вибрала Природа. Важко передбачити, яким буде результат усього цього. Можливо, ці дві дисципліни зрештою об'єднаються, і кожна галузь чистої математики матиме своє фізичне застосування, а її значення у фізиці буде пропорційне до її інтересу в математиці. Наразі ми, звісно, дуже далекі від цього етапу, навіть стосовно деяких найелементарніших питань. Наприклад, у фізиці важливе значення має лише чотиривимірний простір, тоді як простори з іншою кількістю вимірів становлять приблизно однаковий інтерес у математиці.
Однак цілком можливо, що ця розбіжність пояснюється неповнотою сучасних знань і що майбутні дослідження покажуть, що чотиривимірний простір становить набагато більший математичний інтерес, ніж усі інші.
Тенденція до об'єднання математики та фізики надає фізикам потужний новий метод дослідження основ їхньої дисципліни, метод, який ще не був успішно застосований, але який, я впевнений, доведе свою цінність у майбутньому. Цей метод полягає у виборі тієї галузі математики, яка, на думку науковця, стане основою нової теорії. У виборі слід керуватися міркуваннями математичної краси. Ймовірно, було б добре також віддати перевагу тим галузям математики, які мають цікаву групу перетворень, що лежать в їх основі, бо перетворення відіграють важливу роль у сучасній фізичній теорії, і як теорія відносності, так і квантова теорія, здається, показують, що перетворення мають фундаментальніше значення, ніж рівняння. Визначившись з галуззю математики, слід приступити до її розвитку у відповідному напрямку, одночасно шукаючи той шлях, що, як видається, природно піддається фізичній інтерпретації.
Цей метод використав Йордан, пробуючи отримати вдосконалену квантову теорію на основі алгебри з неасоціативним множенням. Спроба не була успішною, як і слід було очікувати, якщо врахувати, що неасоціативна алгебра не особливо красива галузь математики і не пов'язана з цікавою теорією перетворень. Я б запропонував, як перспективнішу ідею для отримання вдосконаленої квантової теорії, взяти за основу теорію функцій комплексної змінної. Ця галузь математики надзвичайно красива, а група перетворень у комплексній площині така ж, як Лоренцова група, що керує просторочасом обмеженої релятивістики. Отже, можна припустити існування якогось глибокого зв'язку між теорією функцій комплексної змінної та просторочасом обмеженої релятивістики, розроблення якого буде складним завданням на майбутнє.
Обговорімо тепер ступінь математичної якості в природі. Згідно з механістичною схемою фізики або її релятивістською модифікацією, для повного опису Всесвіту потрібна не тільки повна система рівнянь руху, але й повний набір початкових умов, і математичні теорії застосовуються тільки до першої з них. Останні вважаються такими, що не піддаються теоретичному опрацюванню і можуть бути визначені лише на основі спостережень. Величезна складність Всесвіту пояснюється величезною складністю початкових умов, що виводить їх за межі математичного обговорення.
Я вважаю цю позицію дуже незадовільною з філософського боку, бо вона суперечить усім уявленням про єдність Природи. У будь-якому разі, якщо математична теорія застосовується лише до частини опису Всесвіту, ця частина, безперечно, повинна бути чітко відокремлена від решти. Але насправді, здається, не існує природного місця, де можна було б провести таку межу. Чи підпорядковуються математичній теорії такі речі, як властивості елементарних частинок фізики, їх маса та числові коефіцієнти, що трапляються в законах сили? Згідно з вузьким механістичним поглядом, їх слід вважати початковими умовами і вони поза математичною теорією. Однак, через те що всі елементарні частинки належать до одного з кількох певних типів, а члени одного типу точно такі ж, вони мусять деякою мірою підкорятися математичним законам, і більшість фізиків тепер вважає, що ця міра досить велика. Наприклад, Едінгтон розробив теорію, що пояснює маси. Але навіть якщо припустити, що всі властивості елементарних частинок можна визначити за допомогою теорії, все одно не буде відомо, де провести межу, бо постане наступне питання: чи можна визначити відносні кількості різних хемічних елементів за допомогою теорії? Тоді ми поступово перейдемо від атомних до астрономічних питань.
Ця незадовільна ситуація погіршується новою квантовою механікою. Попри велику аналогію між квантовою механікою та старою механікою щодо їх математичних формалізмів, вони різко відрізняються за характером своїх фізичних наслідків. Згідно зі старою механікою, результат будь-якого спостереження визначений і може бути теоретично обчислений на основі заданих початкових умов; але у квантовій механіці результат спостереження зазвичай невизначений, що пов'язано з можливістю виникнення квантового стрибка, і теоретично можна обчислити лише ймовірність отримання будь-якого конкретного результату. Питання, котрий конкретний результат буде отриманий в конкретному випадку, лежить поза межами теорії. Це не можна пояснювати неповнотою теорії, але необхідне для застосування формалізму, який використовується у квантовій механіці.
Отже, згідно з квантовою механікою, для повного опису Всесвіту нам потрібні не тільки закони руху і початкові умови, але й інформація про те, який квантовий стрибок відбувається в кожному випадку, коли квантовий стрибок справді відбувається. Остання інформація повинна бути внесена, разом з початковими умовами, в ту частину опису Всесвіту, яка перебуває поза математичною теорією.
Отже, збільшення нематематичної частини опису Всесвіту забезпечує філософське заперечення квантової механіки і, на мою думку, слугує основною причиною, чому деякі фізики все ще вважають цю механіку важкою для прийняття. Однак квантову механіку не слід відкидати, по-перше, через її дуже широку і детальну узгодженість з експериментами, а по-друге, через те, що невизначеність, яку вона вносить у результати спостережень, філософськи задовільна, бо її можна легко пояснити неминучою грубістю засобів спостереження, доступних для експериментів у малих масштабах. Проте заперечення все ж показує, що основи фізики ще далекі від своєї остаточної форми.
Тепер ми підійшли до третього великого досягнення фізичної науки цього століття — нової космології. Ймовірно, вона виявиться філософськи навіть революційнішою, ніж теорія відносності чи квантова теорія, хоча на цей момент важко усвідомити всі її наслідки. Відправний пункт — спостережуваний червоний зсув у спектрах віддалених небесних тіл, який вказує на те, що вони віддаляються від нас зі швидкістю, пропорційною відстані до них*. Швидкості віддаленіших тіл такі величезні, що очевидно, що ми маємо тут факт надзвичайної важливості, не тимчасовий чи локальний стан, а щось фундаментальне для нашого уявлення про Всесвіт.
Якщо ми повернемося в минуле, то опинимося в часі, приблизно 2 × 10⁹ років тому, коли вся матерія у Всесвіті була зосереджена в дуже малому об'ємі. Схоже, що тоді сталося щось на зразок вибуху, уламки якого ми тепер спостерігаємо, як вони все ще розлітаються назовні. Цю картину розробив Лемар, який вважає, що Всесвіт почався як єдиний дуже важкий атом, який зазнав бурхливого радіоактивного розпаду і так розпався на сучасну сукупність астрономічних тіл, одночасно випромінюючи космічні промені.
Така космологічна картина наводить на думку, що час мав початок і що немає сенсу досліджувати, що відбувалося до цього. Можна дістати приблизне уявлення про геометричні взаємозв’язки, уявляючи собі, що сьогодення — це поверхня кулі, а рух у минуле — це рух до центра кулі, а рух у майбутнє — це рух назовні. Тоді немає обмежень щодо того, як далеко можна зайти в майбутнє, але є обмеження щодо того, як далеко можна зайти в минуле, що відповідає моментові, коли досягається центр кулі. Початок часу забезпечує природне походження, від якого можна вимірювати час будь-якої події. Результат зазвичай називають епохою цієї події. Отже, сучасна епоха — 2 × 10⁹ років.
Тепер повернімося до динамічних питань. Згідно з новою космологією, Всесвіт мусив розпочатися якимось дуже простим чином. Що ж тоді стається з початковими умовами, необхідними для динамічної теорії? Очевидно, що їх не може бути, або вони мусять бути тривіальними. Ми опинилися в ситуації, яка була б неприйнятна для старої механіки. Якби Всесвіт був просто рухом, що випливає із заданої схеми рівнянь руху з тривіальними початковими умовами, він не міг би містити тієї складності, яку ми спостерігаємо. Квантова механіка дає вихід із цієї скрутної ситуації. Вона уможливлює нам приписати складність квантовим стрибкам, що лежать поза системою рівнянь руху. Квантові стрибки тепер утворюють нерозрахункову частину природних явищ, замінюючи початкові умови старого механістичного погляду.
Ще один момент, пов'язаний з новою космологією, заслуговує на увагу. На початку часу закони Природи, ймовірно, були дуже відмінні від тих, що діють тепер. Отже, ми повинні розглядати закони Природи як такі, що постійно змінюються з епохою, а не як такі, що залишаються незмінними у просторочасі. Цю ідею вперше висунув Мілн, який розробив її на основі припущень, що Всесвіт у певну епоху приблизно однаковий скрізь і сферично симетричний. Я вважаю ці припущення не дуже переконливими, бо локальні відхилення від однорідності такі великі і мають таке важливе значення для нашого світу, що навряд чи існує принцип однорідності, який би їх перекривав. Крім того, раз ми вже маємо закони Природи, що залежать від епохи, ми повинні очікувати, що вони також залежатимуть від положення в просторі, щоб зберегти прекрасну ідею теорії відносності про фундаментальну подібність між простором і часом. Це суперечить припущенням Мілна радикальніше, ніж просто брак однорідності в розподілі матерії.
Ми простежили основний хід розвитку взаємозв'язку між математикою та фізикою до теперішнього часу і дійшли до етапу, на якому стає цікаво поміркувати про майбутнє. У цих відносинах завжди була одна незадовільна риса, а саме обмеження в ступені, в якому математична теорія застосовується до опису фізичного всесвіту. Частина, до якої вона не застосовується, збільшилася з появою квантової механіки і зменшилася з появою нової космології, але завжди залишалася.
Ця особливість така незадовільна, що, на мою думку, можна упевнено передбачити, що вона зникне в майбутньому, попри разючі зміни в наших звичайних уявленнях, до яких це нас приведе. Це означало б існування схеми, в якій весь опис Всесвіту має свій математичний відповідник, і ми мусимо припустити, що людина з повними знаннями математики могла б вивести не тільки астрономічні дані, але й усі історичні події, що відбуваються у світі, навіть найтривіальніші. Звісно, фактично зробити ці висновки було б неможливо, бо життя, яке ми знаємо, було б неможливе, якби можна було обчислити майбутні події, але методи їх отримання мали б бути чітко означеними. Схема не могла б підлягати принципові простоти, бо вона мала б бути надзвичайно складною, але вона цілком могла б підлягати принципові математичної краси.
Я хотів би висловити пропозицію щодо того, як така схема може бути реалізована. Якщо ми виразимо сучасну епоху, 2 × 10⁹ років, в одиницях часу, визначених атомними константами, ми отримаємо число порядку 10³⁹, яке характеризує сьогодення в абсолютному сенсі. Чи не може бути так, що всі сучасні події відповідають властивостям цього великого числа, і, загальніше, що вся історія Всесвіту відповідає властивостям всієї послідовності натуральних чисел? На перший погляд здається, що Всесвіт надто складний, щоб така відповідність була можлива. Але я вважаю, що це заперечення не може бути прийнятним, бо число порядку 10³⁹ надто складне саме тому, що воно таке величезне. Ми маємо короткий спосіб його запису, але це не повинно затуляти нам той факт, що воно має надзвичайно складні властивості.
Отже, існує ймовірність, що давня мрія філософів про зв'язок усієї Природи з властивостями цілих чисел колись здійсниться. Для цього фізика повинна пройти довгий шлях, щоб встановити деталі того, як саме має відбуватися цей зв'язок. Одна підказка для цього розвитку здається досить очевидною, а саме: вивчення цілих чисел у сучасній математиці нерозривно пов'язане з теорією функцій комплексної змінної, що, як ми вже бачили, має хороші шанси стати основою фізики майбутнього. Реалізація цієї ідеї приведе до зв'язку між атомною теорією та космологією.

* Швидкості рецесії не доведені остаточно, бо можна припустити існування інших причин спектрального червоного зсуву. Однак нова причина, ймовірно, мала б такий самий радикальний вплив на космологічну теорію і все одно потребувала б введення параметра порядку 2 × 10⁹ років для математичного обговорення, тому, ймовірно, не порушила б основних ідей аргументу в тексті.