Математика для людського процвітання

Відповісти
Кувалда
Редактор
Повідомлень: 5809
З нами з: Сер травня 27, 2009 8:33 pm

Математика для людського процвітання

Повідомлення Кувалда »

Francis Su. Mathematics for human flourishing. Yale University Press, 2020. 288 pages
Математика для людського процвітання
Френсіс Су
з роздумами Крістофера Джексона


Лавреат Ойлерівської книжкової премії 2021 року від Математичної асоціації Америки, це всеосяжне бачення математики — її краси, її людяності та її сили створювати чесноти, які допомагають нам усім процвітати.
Для математика Френсіса Су суспільство без прихильності до математики схоже на місто без концертів, парків чи музеїв. Пропустити математику — означає жити, не відчуваючи деяких найпрекрасніших ідей людства.
У цій глибокій книжці, написаній для широкої авдиторії, але особливо для тих, хто розчарований своїм минулим досвідом, відзначений нагородами математик і педагог сплітає притчі, головокрутки та особисті роздуми, щоб показати, як математика задовольняє основні людські потреби, наприклад гри, краси, свободи, справедливості та любові — і розвиває чесноти, необхідні для людського процвітання. Ці потреби та чесноти, а також історії, розказані тут, показують, як тісно математика пов’язана з людиною. Деякі научки можна дістати від тих, хто зазнав труднощів, зокрема від філософа Сімон Вейль, чий власний математичний внесок був затьмарений внеском її брата, і Крістофера Джексона, який відкрив для себе математику, бувши ув’язненим у федеральній в’язниці. Листи Крістофера до автора з’являються по всій книжці й показують, як цей інтелектуальний пошук може — і повинен — бути відкритим для всіх.

Відгуки
«Чудово написана, містить добре дібрані та цікаві математичні головокрутки та пропонує важливий погляд для розгляду математиками... Книжка розрахована на ширшу авдиторію, а також закликає до більшої інклюзивності, до визнання того, що існує багато шляхів до успіху». – Памела Ґоркін, «Математікл інтелідженсер»
«Надихає». – Скот Мак-Лемі, «Інсайд гаєр ед»
«Хорошу книжку читати цікаво. Чудова книжка — це дзеркало, яке дає змогу нам чіткіше бачити себе та світ, у якому ми живемо. «Математика для процвітання людини» Френсіса Су — це і хороша, і прекрасна книжка». – Огляди MAA
«Математика для процвітання людства» — це ідея та книжка, які мають глибоке значення для нашого часу... Для всіх, хто сумнівається у важливості цих ідей не лише для шкільних досягнень, а й для людства, цю книжку варто прочитати». – «Американський математичний місячник»
«[Сповнена натхнення книжка... Це книжка для всіх, хто хоче знати, де і як математика може вписатися в їхнє життя». — Пол Дж. Кемпбел, «Математичний журнал»
«Це глибока книжка, призначена для широкої авдиторії, щоб розпочати розмову про те, як навчати математики та займатися нею по-новому». — Шерон Хашимото, «Міжнародний екзаменатор»
«Робота Су – приклад вірного служіння для загального блага. Він представляє бачення математики як засобу, за допомогою якого кожен може відчути повноту». – Томас Дж. Кларк, «Міжнародний журнал християнства та освіти»
«Стародавні греки стверджували, що найкраще життя сповнене красою, істиною, справедливістю, грою та любов’ю. Математик Френсіс Су точно знає, де їх знайти». — Кевін Гартнет, журнал «Кванта»
«Будь ласка, прочитайте цю прекрасну, переконливу, захопливу книжку, якщо вам небайдужі математика, соціальна справедливість чи людяність, а я сподіваюся, що це стосується всіх». – Юджинія Ченг, авторка книжки «Мистецтво логіки в нелогічному світі».
«Світ відчайдушно потребує всеосяжного та глибоко людського погляду на те, що таке математика та чому вона має значення. Ключові якості, які розвиває математичне мислення, — це характеристики, які ми всі повинні цінувати та прагнути до них». — Еді Ву, автор книжки «Це числовий світ»
«Я був зачарований цією незвичайною, піднесеною книжкою. Оригінальні ідеї та захопливі головокрутки змусили мене знову відчути себе молодим, відкривши шлях до дзен і мистецтва математики». — Наліні Джоші, Сіднейський університет.
«Френсіс Су вірить, що математика може зробити нас кращими людьми, і він подає приклад. Кожна сторінка — це робота щедрості та спочуття. Крім того, головокрутки будуть переслідувати вас тижнями». — Бен Орлін, автор книжки «Математика з поганими малюнками».
«Свято математики та людського духу. Вивчення математики збагачує наше життя, і Су хоче, щоб усі посіли місце на бенкеті». — Едвард Шайнермен, автор книжки «Супутник любителя математики».
«Чудове поєднання філософії, математичних ілюстрацій і спочуття». – Джон Кук, «Сінг’юлор валью консалтінг»
«Френсіс Су написав ліричну медитацію про красу математики та те, як вона пов’язана з нашою спільною людяністю». — Джон Уршел, автор книжки «Розум і матерія: життя в математиці та футболі».
Су елегантно розкриває красу та силу математики, бо вони пов’язані з нашими бажаннями бути коханими, гідними віри та прийнятими. Потужна розповідь про математичну красу, ця книжка – протиотрута для математично фіксованого мислення». — Талітія Вільямз, авторка книжки «Спроможність у числах: жінки-бунтівниці математики».
«Це, мабуть, найважливіша книжка про математику нашого часу. Френсіс Су показує, що математика — це досвід розуму і, що найважливіше, серця». — Джеймз Тантон, «Глоубл мат проджект»

Про автора
Френсіс Су — професор математики імені Бенедіктсона-Карви в коледжі Гарві Мадда, удостоєний нагород як викладач математики, колишній президент Математичної асоціації Америки. Його роботи були представлені в «Кванта», «Вайред» і «Нью-Йорк таймз».

Крістоферам і Сімонам світу

Зміст
передмова
1. процвітання
2. дослідження
3. значення
4. гра
5. краса
6. постійність
7. істина
8. боротьба
9. сила
10. справедливість
11. свобода
12. спільнота
13. любов
епілог
подяки
побажання та чесноти
для роздумів: питання для подальшого обговорення
підказки та розв’язки головокруток
примітки
індекс

передмова
Ця книжка не про те, яка велика математика, хоча це справді славетне намагання. Вона також не зосереджується на тому, що може зробити математика, хоча вона, безсумнівно, може зробити багато чого. Скоріше це книжка, яка ґрунтує математику на тому, що означає бути людиною і жити повноціннішим людським життям.
Ця книжка стала результатом моєї промови в січні 2017 року наприкінці мого терміну президентства в Математичній асоціації Америки. Дарма що я виступав на конференції математиків, основні теми були загальні, а повідомлення викликало такий резонанс, якого я не міг передбачити. Слізлива реакція авдиторії показала мені, що навіть серед тих, хто заробляє на життя математикою, справді є потреба поговорити про наше прагнення до спільного блага та потребу того, щоб ми були кращими людьми одне для одного. Після того, як про цю промову повідомили в журналах «Кванта» і «Вайред», я отримав численні листи від людей, чий досвід математики збігався з моїм: болісні, коли її не практикували належно, і радісні, коли ми бачимо, якою різною вона може бути.
Щоб запросити всіх до цієї розмови, я націлив цю книжку на широку авдиторію — особливо на тих із вас, хто не вважає себе «людьми математики». Можливо, спосіб, яким ви бачите себе в математиці, полягає не в тому, щоб я переконав вас, що математика чудова або що математика робить багато чудових речей, а в тому, щоб показати вам, що математика тісно пов’язана з людиною. Бо тоді ваші найпотаємніші людські бажання розкривають вашу математичну природу — і вам потрібно лише її пробудити.
Я не подаватиму багато передумов; я знаю, що ми всі мали різний досвід у математиці, і це цілком добре прийти до цієї книжки таким, який ви є. Я буду посилатися на деякі математичні ідеї тут і там і спробую пов’язати їх із тим, що ви, можливо, знаєте, приблизно так само, як ви можете вести випадкові розмови про філософію, музику чи спорт. Можливо, ви читаєте цю книжку за дорученням когось із знайомих, хто вивчає математику, і тому я іноді даю поради тим, хто викладає. Незалежно від того, хто ви, я сподіваюся, що ви прочитаєте цю книжку як запрошення й подумаєте про ідеї, щоб почати розмову — вдома, у класі чи серед друзів — про те, як уявляти математику по-новому.

1
процвітання

Кожна істота тихо волає, щоб її прочитали інакше.
Сімон Вейль
Крістофер Джексон – ув'язнений у федеральній в'язниці суворого режиму. З чотирнадцяти він мав проблеми із законом. Він не закінчив середньої школи, у нього була залежність від важких наркотиків, а в дев’ятнадцять років він брав участь у серії збройних пограбувань, за які дістав тридцять два роки ув’язнення.
Наразі ви, мабуть, уже сформували уявлення про те, хто є Крістофер, і, можливо, вам цікаво, чому я розпочинаю його історію. Коли думаєте про тих, хто займається математикою, ви думаєте про Крістофера?

Але він написав мені листа після семи років ув’язнення:
У мене завжди була схильність до математики, проте, бувши дуже юним і живучи в деяких несприятливих обставинах, я так і не зрозумів справжнього сенсу та переваг здобуття освіти...
За останні 3 роки я придбав і вивчив силу книжок, щоб здобути глибоке та конкретне розуміння «Алгебри I», «Алгебри II», «Коледжівської алгебри», «Геометрії», «Тригонометрії», «Числення I» та «Числення II».
Коли думаєте про тих, хто займається математикою, ви думаєте про Крістофера?
Кожна істота тихо волає, щоб її прочитали інакше.
Сімон Вейль (1909–1943) була відомим французьким релігійним містиком і широко шанованим філософом. Ймовірно, вона менш відома як молодша сестра Андре Вейля, одного з найвідоміших в історії теоретиків чисел.
Для Сімони читати когось означає тлумачити чи робити про нього судження. Вона каже: «Кожна істота тихо волає, щоб її судили інакше». Цікаво, чи не волала Сімон щодо себе? Вона теж любила математику і займалася нею, але часто порівнювала себе з братом. У листі до наставника вона написала:
У чотирнадцять років я впала в один із тих нападів бездонного відчаю, які приходять у підлітковому віці, і я серйозно думала про смерть через посередність своїх природних здібностей. Виняткові здібності мого брата, дитинство та юність якого можна порівняти з дитинством Паскаля, довели мені мою власну неповноцінність. Я не заперечувала, що не мала очевидних успіхів, але мене засмучувала ідея бути вилученою із того трансцендентного царства, до якого мають доступ лише справді великі і де перебуває істина. Я воліла померти, ніж жити без цієї істини.[1]

Сімон Вайль, близько 1937 року. Фото люб’язно надала Сільві Вейль.

Ми знаємо, що Сімон любила математику, тому що вона використовувала математичні приклади у своїх філософських творах.[2] І ви знайдете її з Андре на фотографіях Бурбакі, групи французьких математиків-реформаторів, як помітно самотню жінку. Їхні сповнені жартів зустрічі були, мабуть, не найпривабливішим місцем для жінки.[3]


Зустріч Бурбакі, близько 1938 року. Ліворуч видно Сімон Вайль, яка схилилася над своїми нотатками. Андре Вейль махає дзвіночком. Фото надала Сільві Вейль.

Я часто питаю себе, якими були б її стосунки з математикою, якби вона не була завжди в тіні Андре.[4]
Кожна істота тихо волає, щоб її прочитали інакше.
Я щасливий ентузіаст математики, вчитель математики, дослідник у галузі математики та колишній президент Математичної асоціації Америки. Тож можна подумати, що мій зв’язок із математикою завжди був міцний. Мені не подобається слово «успіх», але люди вважають мене успішним, ніби справжньою мірою моїх математичних досягнень були нагороди, які я отримав, або статті, які я опублікував. Дарма що я мав переваги, зокрема походження із середнього класу та батьків, які підштовхували мене до успіху, мої заняття математикою, навіть із благородніших причин, ніж досягнення, мали свої перешкоди.
У дитинстві мене приваблювали прекрасні ідеї математики, і я прагнув дізнатися більше. Але я виріс у маленькому сільському містечку з обмеженими можливостями на півдні Техасу. У моїй середній школі було мало доступних курсів з математики чи природничих наук, бо коледж не був стандартним вибором для її учнів. У мене не було великої мережі друзів, захоплених математикою. Мої батьки, дарма що вони прагнули допомогти мені вчитися, не знали, де шукати, щоб підживити мій інтерес до математики; знайти такі ресурси було ще важче в доінтернетну епоху. Я здебільшого покладався на старі книжки з публічної бібліотеки. Моя любов до математики зросла, коли я був студентом Техаського університету, і коли мене прийняли до Гарварду, де я здобував ступінь доктора філософії. Але я почувався там не на своєму місці, бо мій коледжівський диплом не був отриманий у навчальному закладі Ліги Плюща, і, на відміну від багатьох моїх однолітків, у мене не було повного списку випускних курсів, коли я вступив. Я почувався Сімон Вейль, стоячи поруч із майбутніми Андре Вейлями, думаючи, що ніколи не зможу процвітати в математиці, якщо не був схожий на них.
Один професор сказав мені: «Ви не маєте того, що потрібно, щоб стати успішним математиком». Це недобре зауваження змусило мене задуматися, серед іншого, чому я хочу займатися математикою. Займатися математикою означає більше, ніж просто вивчати факти математики — це означає бачити себе здібним до вивчення математики, мати впевненість і звичку розуму розв’язувати нові задачі. Несподівано я приєднався до компанії багатьох людей, які були уражені суворими судженнями і поставили під сумнів свою здібність до математики. Є багато інших, хто ставить під сумнів сенс вивчення математики, а ще інші не мають доступу до якісної математичної освіти. Перед лицем такої кількості перешкод, це справедливе запитання для всіх нас:
Навіщо займатися математикою?
Чому Крістофер сидів у тюремній камері й вивчав числення, хоча він не використовуватиме його на волі ще двадцять п’ять років? Яка користь для нього з математики? Чому Сімон так захопили трансцендентні математичні істини? Що вони пропонують, про що вона так відчайдушно прагнула дізнатися більше? Чому ви маєте наполегливо вивчати математику або бачити себе математичним дослідником, коли інші тонко й не дуже кажуть вам, що ви до них не належите?
У теперішній момент суспільство також запитує, якими повинні бути його стосунки з математикою. Чи математика лише інструмент, який робить вас «готовими до коледжу та кар’єри», щоб ви могли досягти своїх справжніх цілей у житті? Чи математика не потрібна більшості з нас і актуальна лише для небагатьох представників еліти? Яка цінність у вивченні математики, якщо ви ніколи не будете використовувати те, що вивчаєте? Завтрашня робота може навіть не використовувати математику, яку ви вивчаєте сьогодні.
Серед великих суспільних змін, спричинених цифровою революцією та переходом до інформаційної економіки, ми спостерігаємо швидку трансформацію способів нашої роботи та життя. Тепер математичні інструменти займають важливе місце в кожному секторі робочої сили, зокрема в найдомінантніших; натепер технологічні компанії належать до чотирьох найдорожчих компаній у світі.[5] Це означає, що влада тепер ще більше наділяється тим, хто володіє математичними навичками.[6] Протягом життя якоїсь молодої людини інструменти нашого повсякденного життя стали також математичними. Тепер пошукові системи задовольняють будь-які наші дослідницькі примхи за допомогою алгоритмів на основі лінійної алгебри та реклами на основі теорії ігор. Смартфони стали нашими цифровими дворецькими, зберігаючи наші дані в алгебрично замкнутих кабінетах, інтерпретуючи наші голосові команди зі статистичною чутливістю та радуючи нас добіркою аналітично розпакованої музики.
Проте суспільство не сприйняло серйозно свій обов’язок забезпечити живу математичну освіту для всіх. У багатьох школах учителі не мають достатньої підтримки. Застарілі навчальні програми та педагогічні методики заважають багатьом учням відчути математику як захопливу сферу дослідження, культурно відповідну та важливу для всіх сфер життя. Ми чуємо голоси на публічних майданчиках про те, що учням старших класів не потрібна алгебра, або що небагато людей повинні добре знати математику, маючи на увазі, що математику краще залишити математикам.[7] Деякі викладачі коледжівської математики фактично заявляють про те саме, відмовляючись від викладання вступних занять, або розглядаючи ступінь бакалавра з математики лише як конвеєр для виробництва докторів математики. Протягом багатьох десятиліть і на всіх рівнях — від початкової школи до коледжу — лунали заклики змінити спосіб викладання математики[8]; проте зміни відбувалися повільно, частково через те, що навчальна програма з математики часто слугувала фоном для політичних суперечок навколо природи самого виховання.[9]
Нам дають освіту не таку добру, як слід, і, як і більшість несправедливостей, ця особливо шкодить найвразливішим. Брак доступу до математики та непривітність у математиці має руйнівні наслідки для бідних та інших знедолених груп.[10] Невикористання потенціалу кожного – втрата для всіх нас і це обмежить здатність майбутніх поколінь розв’язувати проблеми, з якими вони зіткнуться.
Наша неспроможність інвестувати в людей вже тепер впливає на нас. Нами легко маніпулювати, коли ми не розуміємо, як працюють нові технології, але очікуємо, що вони будуть виробляти рішення від нашого імені. Ми не поінформовані про способи, якими алгоритми використовуються, щоб сортувати нас, відстежувати нас і поділяти нас — показуючи нам відмінні новини, продаючи інакші позики та викликаючи в нас інакші емоції, ніж у наших сусідів.[11] Ми свідки того, що підприємці не бажають критикувати технології, які вони винаходять, політики не можуть притягнути їх до відповідальності через брак математичної досвідченості, а широка громадськість не готова розглядати свій зв’язок із цими технологіями.
Ми всі знаємо, що під капотом є математика, але в іншому аспекті математика здається холодною, логічною та безживною. Не дивно, що ми не відчуваємо особистого зв’язку з нею. Не дивно, що ми не відчуваємо відповідальності за те, як вона використовується.
Ми з вами можемо це змінити. Усі ми маємо здатність сприймати диво, силу та відповідальність математики, живлячи свою прихильність до неї. Необхідність робити це в сучасному світі неможливо переоцінити, і ставки високі.
Суспільство без математичної прихильності подібне до міста без концертів, парків чи музеїв. Втрачати математику означає жити без можливості грати з прекрасними ідеями та бачити світ у новому світлі. Схоплювати математичну красу – це унікальний і піднесений досвід, якого слід потребувати кожному.
Кожен із нас — незалежно від того, хто ви і звідки — може розвинути любов до математики. Кожен з нас може мати інакше ставлення до математики, ніж ми собі уявляли. Кожен із нас може тлумачити себе та одне одного по-різному.
Я звертаюся до деморалізованих, яких образили слова про їхні математичні здібності. Я звертаюся до розчарованих, для яких математика стала нудною. Я звертаюся до тих, хто не мав ресурсів або впевненості, щоб здобути математичну освіту, але завжди цікавився тим, як усе працює. Я звертаюся до художника, який ніколи не вважав математику прекрасною, соціального працівника, який ніколи не вважав математику реляційною, і математика, який ніколи не вважав математику доступною для будь-кого іншого.
І я звертаюся як до тих, хто викладає математику, так і до тих, хто думає, що ніколи не викладатиме математику, бо кожен із нас, усвідомлюємо ми це чи ні, – вчитель математики. Ми всі висловлюємо ставлення до математики через те, що ми говоримо іншим, і наші слова мають незгладний вплив. Ви можете висловити негатив: «Я ніколи не був хорошим у математиці». «Цей предмет для хлопчиків». «Не спілкуйся з нею — вона ботанік». «Сину, я не фахівець з математики, і ти, мабуть, маєш мої гени». «Навіщо тобі ще один курс математики?». Або ви можете передати позитив: «Математика — це дослідницька пригода». «Ти можеш покращити свої математичні навички, так само як я можу покращити свої штрафні кидки». «Математика — це сила бачити приховані закономірності». «Кожен має перспективи в математиці».
Ви можете колись стати батьком, тіткою чи дядьком, лідером молодіжної групи, громадським волонтером або займати іншу посаду, де ви впливатимете на інших. Якщо так – ви станете вчителем математики. Якщо ви допомагаєте дітям робити домашні завдання – ви вчитель математики. Якщо ви боїтеся допомагати дітям робити домашні завдання, то вчите ставлення до математики. Дослідження показують, що батьки зі страхом математики передають цей страх своїм дітям. Насправді батьки, які страшаться математики, певніше передадуть страх математики, якщо намагатимуться допомогти своїм дітям із домашніми завданнями з математики, ніж цього не зроблять.[12] Отже, ваше ставлення до математики має значення як для дитини, так і для вас самого.
Щоб прочитати себе по-іншому, ми всі — і ті, хто зазнав невдачі в математиці, і ті, хто досяг успіху — повинні змінити свій погляд на те, що таке математика і хто має її вивчати. Це вимагатиме від учителів змінити свій погляд на те, як вони мають викладати. Нам потрібно буде говорити про неї по-іншому, і якщо ми це зробимо, більше з нас залучиться до математики, коли побачимо, як математика пов’язана з нашими найглибшими людськими бажаннями.
Тож якщо ви запитаєте мене: «Навіщо займатися математикою?», я скажу так: «Математика допомагає людям процвітати».
Математика для людського процвітання.
Людське процвітання означає цілісність — бути і діяти, реалізовувати свій потенціал і допомагати іншим робити те саме, діяти з честю та поводитися з іншими з гідністю, жити чесно навіть у складних обставинах. Це не те саме, що щастя, і це не просто стан душі. Добре прожите життя – це життя людського процвітання. Стародавні греки мали слово для людського процвітання — евдемонія — яке вони вважали найвищим благом: «це благо, що складається з усіх благ; здатність, якої достатньо для того, щоб добре жити».[13] Є подібне слово в івриті — шалом — яке використовується як вітання. Шалом іноді перекладається як «мир», але це слово має куди багатший контекст. Сказати комусь шалом — це побажати, щоб він процвітав і жив добре. А в арабській мові є споріднене слово: салам.
Базове питання, яким займалися люди протягом століть, таке: як досягти людського процвітання? Що таке добре прожите життя? Філософ Арістотель казав, що процвітання приходить через застосування чесноти. Грецьке поняття чесноти означає досконалість характеру, яка веде до досконалості поведінки. Тож воно охоплює більше, ніж просто моральну чесноту; наприклад, такі риси, як мужність, мудрість і терпіння, також чесноти.
Я стверджую, що правильна практика математики культивує чесноти, які допомагають людям процвітати. Ці чесноти прислужаться вам незалежно від того, яку професію ви оберете або куди заведе вас життя. І рух до чесноти викликаний основними людськими бажаннями — універсальними прагненнями, що є в усіх нас, — які фундаментально мотивують усе, що ми робимо. Ці бажання можна спрямувати на заняття математикою; здобуті чесноти можуть дати змогу вам процвітати.
Розглянемо таку аналогію: якщо займатися математикою — це те саме, що керувати вітрильником, то людські бажання — це вітер, що напинає вітрила, а чесноти — це якості характеру, які формує вітрильний спорт — уважність, дбайливість і гармонія з вітром. Звісно, вітрильний спорт корисний для того, щоб дістатися з пункту А до пункту Б, але це не єдина причина плисти. І є технічні навички, які потрібно опанувати, щоб добре плавати, але ми не вчимося вітрильного спорту, щоб стати кращими у в’язанні вузлів. Подібно математичні навички цінні, але вони не можуть служити цілями. Навички, необхідні суспільству від математики, можуть змінитися, але чесноти, необхідні від математики, не зміняться.
Пропагуючи людський бік математики, я приєднуюся до дедалі більшого хору тих, хто закликає до гуманізації математики та математичної освіти, часто заради усунення давньої несправедливості, шляхом відходу від безконтекстного зображення математики, щоб розкрити її соціальні та культурні виміри.[14] Ця похвальна мета буде неможлива — і часто піддаватиметься протидії — якщо ми не назвемо мету вивчення математики, яка більша, ніж просто запам’ятовування процедур для майбутньої кар’єри.
Коли деякі люди запитують: «Я хоч колись цим буду користуватися?», вони насправді запитують: «Я хоч колись оціню це?»[15] Вони ототожнюють цінність математики з корисністю, бо не бачать, що можуть цінувати щось більше. Грандіозніше, цілеспрямованіше бачення математики пробудило б бажання, які можуть спонукати нас займатися математикою, а також чесноти, які може розвинути математика.
Тому кожен із дальших розділів присвячений одному основному людському бажанню, здійснення якого – ознака людського процвітання. У кожному з них я показую, як заняття математикою можуть задовольнити це бажання, і висвітлюю чесноти, які культивуються завдяки залученню до математики таким способом. Зміна практик математики, так щоб вони справді відповідали цим бажанням, – наша спільна відповідальність, якщо всі хочуть процвітати в математиці.
Знаю, що дехто може, почувши, як я згадую про чесноти, подумати, що я кажу, що математика робить вас кращими за інших людей. Ні, я не кажу, що математика дає вам більше право претендувати на гідність чи людську поважність. Я кажу, що заняття математикою можуть, якщо вони ґрунтуються на людських бажаннях, сформувати такі аспекти характеру та звички розуму, які дадуть змогу вам жити повноціннішим людським життям і відчути найкраще, що може запропонувати життя. Ніхто з нас не повністю чеснотний; ми всі працюємо, і є куди рости. І є багато способів зростати в чесноті, не тільки в математиці. Але чи правильна практика математики формує певні чесноти, як-от здатність чітко мислити та добре міркувати? Однозначно так, і це можна зробити особливим чином.
Через те, що я так високо оцінюю математику, ви можете подумати, що я боготворю математику як основне заняття, яке варто цінувати понад усі інші в житті. Це теж не так — кожен з нас мусить знайти, що дає нашій душі її найбільше призначення. Однак математика — це дивовижна людська справа — варта зусиль, щоб досліджувати та брати в ній участь, і варта зусиль, щоб допомогти іншим зробити те саме, — бо вона відповідає основним людським бажанням і унікальним чином сприяє гарному життю.
Я сподіваюся, що через бачення себе в цих бажаннях, ви зможете побачити себе математичним дослідником, який може мислити математично і якого вітають у математичних просторах. І там, де практика математики ще не ґрунтується на цих бажаннях, я сподіваюся, ви приєднаєтеся до мене, щоб змінити її. Роблячи це, ви матимете нові способи відчути математику не лише як набір фактів і навичок, а як силу для процвітання всіх.
Математичне дослідження починається із питань. Тож я розкидаю кілька загадок у цій книжці. Жодного тиску — ви можете пропустити їх, якщо хочете, або подумати лише над тими, які здаються привабливими. Підказки та розв’язки можна знайти в кінці, але перш ніж зазирнути туди, я рекомендую пограти з кожною задачею.
РОЗБИТТЯ НА ЧАСТИНИ БРАУНІ
Батько пече брауні на прямокутному деко на позашкільний час для своїх двох дочок. Перед тим, як його дочки приходять додому, його дружина підходить і витягує прямокутник десь із середини, і то сторони прямокутника не обов’язково паралельні сторонам деко.
Як він може одним прямим розрізом розділити решту брауні порівну між своїми двома доньками так, щоб вони отримали однакову площу? Версія цієї головокрутки була показана в шоу НПР «Автомобільні розмови»a.


ТУМБЛЕРИ СВІТЛА
Уявіть собі 100 лампочок, кожна з яких має перемикач, пронумерований від 1 до 100, усі розташовані в ряд, і всі лампочки вимкнені. Припустімо, ви робите так: перемикаєте всі перемикачі, кратні 1, потім перемикаєте всі перемикачі, кратні 2, потім перемикаєте всі перемикачі, кратні 3 тощо, аж до кратних 100. (Перемкнути перемикач означає ввімкнути його, якщо він вимкнений, і вимкнути, якщо він увімкнений.) Коли ви закінчите, котрі лампочки увімкнені, а котрі вимкнені? Ви бачите якусь закономірність? Можете це пояснити?

Лист. 26, 2013
Привіт, пане Су. Мене звуть Крістофер Джексон, я в’язень пенітенціарної колонії США Мак-Крірі в Пайн-Ноті, штат Кентукі. Мені 27 років і я пробув у в'язниці 7 з гаком років. Мене засудили до 32 років ув’язнення за серію збройних пограбувань, у яких ніхто не постраждав, у віці 19 років, коли я страждав від сильної залежності від безлічі важких наркотиків.
У мене завжди була схильність до математики, але, бувши дуже юним та живучи в деяких несприятливих обставинах, я так і не зрозумів справжнього сенсу та переваг здобуття освіти. У віці 14 років я почав більше перейматися системою ювенальної юстиції, тому що невдовзі після закінчення школи я покинув будинок своїх опікунів і почав вести кримінальний спосіб життя. У віці 17 років, за спонуканням мого менеджера та інших, хто мене підтримував, я здобув ЗОР (G.E.D.) і вступив до Атлантського технічного коледжу, але не відвідував його, лише кілька днів, і повернувся і ще глибше занурився в злочинне життя. Протягом дальших кількох років я боровся із залежністю, потрапляючи і виходячи з в’язниці, поки не скоїв злочин, за який тепер відбуваю цей термін. Після того, як я визнав себе винним за двома пунктами обвинувачення у віці 21 року, мене помістили під варту і відправили сюди, до цієї установи, де я провів останні 4 роки свого життя.
За останні 7 років у мене виник гострий інтерес до занять і книок, що стосуються філософії, математики, фінансів, економіки, бізнесу та політики. І за останні 3 роки я придбав і вивчив численні книжки, щоб глибоко та конкретно зрозуміти «Алгебру I», «Алгебру II», «Коледжівську алгебру», «Геометрію», «Тригонометрію», «Числення I» та «Числення II».
Значна більшість проблем у моєму житті виникла через мою жорстокість і небажання слухати людей, які насправді знають краще за мене або займають владні позиції. Тому що навіть із зниклим безвісти та померлим батьком у мене були мати, тітоньки та бабуся, які дійсно намагалися виховати мене правильно. Кожного дня, коли я прокидаюся і будую своє життя, то намагаюся не дозволяти теперішнім обставинам, які я створив для себе, визначати пристрасті та майбутнє, яке я хочу для себе бачити.
Я дізнався про ваш заклад із книжки, яку я прочитав завдяки викладачеві, що тут викладає, і з того, що ваш заклад кілька разів згадували в телешоу, яке я регулярно дивлюся.
Я людина з обмеженими можливостями, але хотів би знати, чи є у вас програма, щоб я міг заочно здобути ступінь з математики у вашій школі. Я знаю, що ви дуже зайнята людина, тому не хотів би більше забирати ваш час. Але дякую за ваш час і увагу.
Крістофер Джексон

a. Див. https://www.cartalk.com/puzzler/cutting-holey-brownies.
Кувалда
Редактор
Повідомлень: 5809
З нами з: Сер травня 27, 2009 8:33 pm

Re: Математика для людського процвітання

Повідомлення Кувалда »

2
дослідження

Це схоже на те, як ніби ви заблукали в джунглях і намагаєтеся використати всі знання, які зможете зібрати, щоб придумати нові трюки, і якщо вам пощастить, то зможете знайти вихід.
Мар'ям Мірзахані
Світ математики дивніший і чудовіший, ніж деякі люди хочуть вам сказати.
Юджинія Ченг
Мій друг Крістофер Джексон — математичний дослідник. Він обмежений обставинами, але не уявою. Він допитливий і винахідливий; він безстрашний і наполегливий. Крісові подобається виклик, який може принести хороша проблема.

Останні кілька років Кріс подорожував. Він досліджує математику свіжим поглядом, починаючи бачити, що вона відрізняється від сухої та ненатхненної форми математики, якої його навчали раніше. Його знання та любов до предмета зростають, попри ізоляцію у в’язниці та труднощі, які це створює. Я мав честь спостерігати на відстані за його трансформацією.
Життя Кріса було непросте. Він виріс у робітничому районі Огасти, штат Джорджія, вихований матір’ю, за допомогою тіток і бабусі. Кріс ніколи не знав свого батька, який піддався крековій (кокаїновій) залежності та трагічно загинув в автомобільній катастрофі, коли на шосе його збив вісімнадцятиколісник, тоді Крісові не виповнилося й двох років. На Кріса був позитивний вплив — його мати прищепила йому любов до книжок, часто читаючи йому, — але на нього чинився і негативний вплив. Це привело його в підлітковому віці до наркоманії та серії злочинів, які він описав у своєму першому листі до мене.
Я був обережний, але й також захоплений тим листом із пенітенціарної установи Пайн-Нот у листопаді 2013 року (див. титульну сторінку). Він був написаний рукою, акуратним почерком і з щирими рядками. Я уявив юнака, який старанно працював над кожним словом. Я не міг його побачити — я міг пізнати його лише за його листами, — але, можливо, суть його характеру була очевидніша в такому вигляді. Мене зворушили роздуми Кріса про своє неспокійне минуле, майбутнє, яким він хотів би собі бачити, і те, як він розвивав свій інтерес до математики, навчаючись за книжками. Я шкодую, що в моїй школі немає дистанційної програми для нього.
Ми з Крісом листуємося через пошту безперервно вже шість років. Ми говорили про наш спільний інтерес до математики та життя. З дозволу Кріса я ділюся уривками з нашого листування, бо його ідеї та досвід підсилюють усе, що я говорю в цій книжці. Це не історія про те, як я допомагав Крісові складати математику у в'язниці. Скоріше це історія про те, як Кріс починає дивитися на себе та на математику по-новому. Його ідеї та його подорож надихнули мене, коли я писав книжку про процвітання, ще більше повірити в те, що математика може щось запропонувати кожному.

Я математичний дослідник. Моя подорож відрізнялася від подорожі Кріса, але нас обох спокусила сила математичних досліджень, щоб пробудити уяву. У дитинстві я любив зорі, і в сільському містечку Техасу, де я жив, далеко від будь-якого великого міста, я міг бачити навіть найтьмяніші. Я благав батьків купити телескопа, але в нас не було грошей. Тож я поглинав книжки з астрономії і мріяв про космос. Я хотів стати космонавтом, відвідати інші світи та зустріти дивні нові форми життя. Це здавалося захопливим, поки я не зрозумів, скільки часу займе подорож навіть до найближчої зорі, і не подумав про всіх людей, яких мені доведеться залишити. Але це не завадило мені фантазувати. Я постійно поглинав наукову фантастику, захоплюючись такими історіями, як «Настання ночі» Айзека Азімова, повістю про те, що відбувається, коли ніч нарешті приходить у цивілізацію на планеті з шістьма сонцями. Я міг би подумки відвідати цей світ.
Мою дитячу уяву ще більше розпалили подорожі зондів «Піонер» і «Вояджер» Сонцевою системою наприкінці 1970-х і на початку 1980-х років. Науковці вперше зробили фотографії супутників Юпітеру та кілець Сатурну зблизька. Досягнення цих світів вимагало років творчого планування всіх сценаріїв, хороших і поганих, з якими могли зіткнутися ці зонди без екіпажу. Подібно до того, як самі науковці робили свої відкриття на відстані, я міг випадково досліджувати ці світи з маленького містечка на півдні Техасу. Мені подобалося розглядати зображення «Вояджера», надруковані в газеті.

Супутник Мімас освітлюється сонцевим світлом, відбитим від Сатурну. Щілина Касіні – це найбільша прогалина в кільцях, яку видно на лівому боці фотографії. Зображення надали НАСА/Лабораторія реактивного руху – Калтех/Інститут космічних наук. Знято космічним кораблем «Касіні» 16 лютого 2015 року.

У цих світах буквально можна побачити математику. Кільця Сатурну оточують планету в екваторіальній площині. Здалеку вони виглядають як нерухомі кільцеподібні смуги, але кільця здебільшого складаються з безлічі каменів розміром із валун (мінісупутники), які містять переважно лід і обертаються навколо планети через силу тяжіння. Астроном Ґалілео Ґалілей вперше спостерігав кільця через телескоп у 1610 році. Не знаючи, що це таке, він жартівливо назвав їх вухами. Пізніше астрономи ідентифікували ці структури як кільця з проміжками між ними. Зонди «Вояджер» дали змогу нам побачити структуру кілець у дрібніших деталях, наприклад патерн брижів високої та низької щільності, подібний до канавок на старій вініловій платівці.
Деяку структуру кілець, як я дізнався, можна пояснити математично. Усім крижаним каменям на однаковій відстані від Сатурну потрібен однаковий час, щоб зробити один оберт — це називається їх орбітовим періодом. Камені, розташовані далі від Сатурну, мають довший орбітовий період і нижчу швидкість, ніж ті, що розташовані ближче, бо на них менше впливає гравітація планети. Подумайте про кільця як про бігову доріжку навколо Сатурну, на якому бігуни на внутрішніх доріжках рухаються швидше, а також долають меншу відстань, ніж бігуни на зовнішніх доріжках.
Щось особливе відбувається, коли орбітовий період каменя перебуває в одному з певних точних цілочислових відношень з періодом супутника Сатурну. Наприклад, припустімо, що у вас є камінь і супутник, які обертаються навколо Сатурну так, що за час, потрібний супутникові, щоб зробити один оберт зовнішньою доріжкою, камінь робить рівно два – внутрішньою. Кожні дві орбіти камінь проходитиме повз супутник у точно тому ж місці на орбіті каменя.
Найсильніший гравітаційний вплив супутника на камінь відбувається в цей момент максимального наближення. А що ці повторювані потягування відбуваються в одному місці, вони зазвичай підсилюють одне одного та порушують орбіту каменя, подібно до того, як штовхання дитини на гойдалці синхронно з її рухом спричиняє те, що дитина злітає вище. Отже, усі камені на такій відстані від Сатурну з однаковим періодом обертання мають тенденцію відхилятися від цієї орбіти. Цей ефект називається резонансом, і коли він дуже сильний, то може створити щілину в кільцях.
Найбільша щілина, завширшки близько 3000 миль, називається щілиною Касіні і є результат резонансу два-до-одного між орбітовими каменями та супутником Сатурна Мімасом. Ви можете отримати резонансні ефекти для інших малоцілочислових відношень між періодами супутника та каменя (наприклад, три до двох або чотири до трьох), хоча вони менш виражені, часто більше схожі на брижі, ніж прогалини. Ефекти резонансу між супутниками та каменями можуть пояснити багато особливостей кілець Сатурна.[2] Фактично ми бачимо числові відношення — прості дроби — які створюють видні патерни в делікатних орбітових танцях цих крижаних каменів! Для такої дитини, як я, було чарівно, що невелике дослідження, з використанням математики та уяви може привести до розуміння об’єктів на відстані 900 мільйонів миль.

Крижаний камінь на внутрішній орбіті навколо Сатурну наздоганяє Мімас. Вплив гравітації Мімасу може накопичуватися та порушувати орбіту каменя, якщо той завжди проходить повз супутник у тому самому місці.

Математичне дослідження дуже схоже на дослідження простору, але простору іншого типу — простору ідей. Ви не знаєте, що знайдете, коли почнете. Ви розсилаєте зонди для перевірки теорій. Ви захоплені таємницею, вас спонукають питання, вас не лякають невдачі. Ви робите відкриття на відстані: а що самі ідеї не фізичні, то дістаєте доступ до цього простору через розум. Дослідження та розуміння – серцевина того, що означає займатися математикою.
На жаль, дослідження — це не те слово, яке можна асоціювати з математикою, якщо хтось думає, що це просто аритметика — або щось просунуте та ще похмуріше, що було відкрите та встановлене давно.
Шкільна математика налаштовує вас на майбутні дослідження, але уявіть, як відрізнявся б наш досвід, якби ми могли досліджувати математику тепер, коли її вивчаємо. Уявіть собі, як це вивчати правила баскетболу і практикувати лише штрафні кидки, але ніколи не дивитися гру і ніколи не грати — доки ви не будете готові стати професіоналом.[3] І навчання не було б радісним, і ви б не були б підготовлені.
Дослідження – це глибоке людське бажання та ознака людського процвітання. Вам не потрібно багато ресурсів, окрім розуму, щоб стати математичним дослідником, і, як наслідок, ви можете вирушити в пригоду будь-де: у в’язниці, у маленькому сільському містечку, у віддаленому куточку землі. Тож не дивно, що математичних дослідників можна знайти в кожному суспільстві протягом історії. Це найочевидніше в іграх, у які грають люди, особливо в стратегічних іграх, які породжують цікаві математичні питання.
Ачі — гра, в яку грає народ ашанті з Гани в Західній Африці. У цю гру для двох гравців грають на діаграмі три на три з горизонтальних і вертикальних ліній і двох діагоналей. Ачі схожий на хрестики-нулики, але з родзинкою. Кожен із гравців має лише чотири фігури, які вони по черзі розміщують на дев’яти позиціях дошки. Мета полягає в тому, щоб отримати три в ряд уздовж однієї з прямих ліній. Якщо жоден з гравців не отримав трьох поспіль до моменту, коли всі фігури були розміщені, тоді на дошці залишається одне порожнє місце. У цей момент гра переходить у другу фазу, у якій гравці по черзі штовхають одну зі своїх фігур уздовж лінії на вільне місце. Стрибки заборонені. Перемагає гравець, що перший поставить три в ряд.[4]

Усі вісім фігур були розміщені на цій дошці ачі, і поки що немає переможця, тому гравці по черзі штовхають одну зі своїх фігур на порожню позицію, доки один не виставить три в ряд.

Це стандартний опис ачі, але правила залишають певну неоднозначність.[5] Наприклад, у другій фазі, що станеться, якщо гравець застрягне і не матиме ходу? Чи неможливо, щоб гравець застряг, якщо обидва гравці грають розумно (тобто не втрачають жодної очевидної можливості виграти)? Вам також потрібно буде вирішити, чи потрібно змушувати гравців робити хід, якщо вони мають робити ходи. Математичні міркування можуть допомогти вам відповісти на ці запитання та вирішити, які варіанти створять цікавішу гру. У цих варіантах, чи може гра ачі тривати вічно, чи може один гравець мати виграшну стратегію (план ходів, який гарантує перемогу незалежно від того, що робить інший гравець)? Що робити, якщо кожен гравець має лише три фігури замість чотирьох? Чи можете ви створити цікавий варіант ачі з різними лініями?
Якщо ставите подібні питання, ви – математичний дослідник. Ви досліджуєте простір усіх можливих шляхів, якими може продовжуватися гра. Ви надсилаєте «зонди», пробуючи щось. Ви не знаєте, що знайдете, коли почнете. Коли ви знаходите відповіді, застосовуючи математичні міркування, то робите це на відстані, бо ви можете знати про те, як відбуватиметься гра, фактично не розігруючи всіх можливих сценаріїв.
Наприклад, у грі в хрестики-нулики є розумний аргумент, так званий аргумент крадіжки стратегії (strategy-stealing argument), щоб показати, що другий гравець не може мати виграшної стратегії: якби в нього була така стратегія, перший гравець міг би, ігноруючи свій власний перший хід, вдати, що він був другим гравцем, і використати його стратегію, щоб відповісти йому! Якби ця стратегія завжди пропонувала зіграти хід, який він уже зробив, він міг би просто розмістити свій наступний хід у будь-якому іншому місці — це додатковий хід для нього, а в хрестиках-нуликах будь-який додатковий хід може лише допомогти гравцеві виграти. Той факт, що обидва гравці можуть добитися перемоги, – суперечність і означає, що наше припущення про те, що другий гравець мав виграшну стратегію, було хибне. Отже, перший гравець повинен бути в змозі добитися перемоги або нічиї. Дивно, що ми можемо вивести це за допомогою математичних міркувань, не граючи жодної гри в хрестики-нулики.
Кожна культура грає в стратегічні ігри.[6] У кожній культурі є математичні дослідники, бо стратегічне мислення — це математичне мислення. Один із найкращих способів заявити про свою спадщину в математиці — це знайти стратегічну гру з вашої власної культурної історії та прийняти спосіб мислення, якого вимагає гра. Перевірте це за допомогою дослідницьких запитань.
Математичне дослідження починається із запитань. Єдина вимога, щоб бути математичним дослідником, – це вміння ставити запитання на зразок чому? і як? і що станеться, якщо...? Усі діти так роблять, але десь на цьому шляху деякі перестають ставити запитання — можливо, тому, що їм сказали запам’ятовувати речі, а не розуміти їх. Їх навчають дотримуватися процедур, а не досліджувати, чому ці процедури працюють. Вони починають думати, що є лише один правильний спосіб розв’язати проблему, а не розвивати власний шлях до розв’язку. При кожній нагоді нам потрібно протистояти ідеї, що математика — це запам’ятовування, і замінювати її ідеєю, що математика — це дослідження. Людина, яка запам’ятовує математику, не знає, як реагувати в незнайомих ситуаціях, але математичний дослідник може гнучко пристосовуватися до мінливих умов, бо він навчився ставити запитання, які підготують його до багатьох сценаріїв. Ефективні вчителі математики знають, як спонукати нас досліджувати. Учитель математики Фавн Нгуєн дає таку пораду іншим учителям: «Розглядайте критично ефективність свого заняття не за тим, які відповіді дають учні, а за тим, які запитання вони ставлять».[7]
Дослідження розвиває уяву. Щоб розв’язувати задачі, ви повинні придумувати нові можливості. Щоб пояснити орбітові відстані шести відомих на той час планет, німецький астроном Йоган Кеплер у своїй книжці «Космографічна таємниця» (Mysterium Cosmographicum) запропонував теорію про шість орбітових сфер, відділених послідовністю п’яти Платонових тіл (і дотичних до них): тетраедра, куба, октагона, ікосаедра і додекаедра.
Ця теорія насправді не відповідала даним, і тепер ми знаємо, що вона абсолютно неправильна, але вона була наділена багатою уявою! Мозковий штурм обов’язково породжує химерно неправильні ідеї, але навіть неправильні ідеї пом’якшують ґрунт, на якому можуть рости хороші ідеї. Те ж саме відбувається в математиці, коли ви намагаєтеся розв’язати складну задачу. Ви нікуди не дійдете, якщо не почнете з чогось. Розмови серед професійних математиків часто починаються так: «Можливо, ми можемо показати X або Y». Потім вони пробують підхід і розуміють, що він не працює, але сама спроба може виявити нові ідеї.

Модель Сонцевої системи Кеплера в «Космографічній таємниці».

He gives this example: Дослідження стимулює творчість. Виклики дослідження часто вимагають нових інструментів для розв’язання посталих задач. Наприклад, прагнення досягти Місяця породило багато винаходів, які тепер використовуються в повсякденних предметах, таких як бездротові інструменти, піна з пам’яттю (memory foam), ізоляція дому та стійкі до подряпин лінзи. Так само фундаментальні дослідження в математиці часто приводили через роки до разючих застосувань. Прагнення зрозуміти прості числа привело до застосування в криптографії; топологічна теорія вузлів тепер має застосування у згортанні білків; теорія перетворень Радона тепер оживляє математику, що лежить в основі комп’ютерної томографії.[8] Будь-яка цікава, добре розроблена математична задача, навіть проста, розширить вашу творчість. Хороші вчителі знають їх, хороші книжки-головокрутки мають їх, математичні змагання опікуються ними, а математичні дослідники діляться ними.[9] У своїй чудовій книжці «Математика з поганими малюнками» вчитель математики Бен Орлін обговорює відмінність між нудною задачею та дослідницькою.[10] Він наводить такий приклад:
Знайдіть площу та периметр прямокутника з висотою 3 і шириною 11.

Поганий малюнок, що люб’язно надав Бен Орлін, із його книжки «Математика з поганими малюнками» (Math with Bad Drawings). [Створіть два такі прямокутники, що перший має більший периметр, а другий – більшу площу]

Ця задача нудна, бо вона зводить площу та периметр до простих формул, які ніколи не змушують вас звернути свою увагу на їх первісне значення. Він зазначає, що тут ««площа» не стосується кількості один-за-одним квадратів, необхідних для покриття прямокутника; це просто «два числа, помножені». Якщо ви розв’яжете двадцять із цих задач, то ніколи нічого не дізнаєтеся про геометрію. Цікавіша дослідницька задача міститься вище на цій сторінці.
Гм-м-м… набагато краще. Ця версія вимагає глибшого розуміння природи прямокутників і набагато цікавіша. Орлін зазначає, що ви можете підняти її ще на одну сходинку такою версією: «Створіть два такі прямокутники, щоб перший мав рівно вдвічі більший периметр, ніж у другого, а другий мав рівно вдвічі більшу площу, ніж у першого». Борючись із подібними хорошими задачами, ви винайдете власні способи мислення про речі та розробите власні способи їх розв’язання. Це найкращий вид навчання.
Зображення
Просторозаповнювальна крива (space-filling curve) будується як границя кривих, подібних до цих, які щоразу звиваються крізь певну область простору все щільніше. Математична робота тут полягає в тому, щоб показати, що така границя існує.

Дослідження культивує очікування чар. У дослідників викликає трепет пошук несподіваного, особливо дивного та чудового. Ось чому нас приваблюють походи незнайомою місцевістю, чому нас ваблять незвідані печери, чому нас зачаровують дивні істоти глибоководного дна океану — що ще може ховатися там? Подібні чари можна знайти в зоопарку дивних відкриттів у математиці. Одна з таких цікавих істот – просторозаповнювальна крива: одна крива, яка дотикається кожної точки всередині квадрата. Хоча її не можна нарисувати, лише приблизно, математика говорить нам, що ця істота існує. Хоч би якими дивними вони були, просторозаповнювальні криві тепер знайшли застосування в інформатиці та опрацюванні зображень.
Ще одна дивна тварина — парадокс Банаха – Тарського: дивовижний результат того, що суцільну кулю можна розрізати на п’ять частин і знову зібрати, щоб утворити дві суцільні кулі такого ж розміру, що й оригінальна. Ви можете зацікавитися, чому цього не можна зробити із золотими кулями (!), і відповідь, що реальна матерія не ділиться нескінченно, як ідеалізований простір, допомагає нам зрозуміти відміннсть між природою реальних речей і їх математичними моделями. Якщо ви йдете по життю з очима дослідника, кожен новий ландшафт — це можливість уявляти химерні речі, проявляти свої творчі навички та відкривати прихований скарб.
Лінда Фуруто — математична дослідниця, і вона допомагає іншим побачити себе дослідниками. Вона виросла на північному березі Оагу на Гаваях, займаючись підводним полюванням, дайвінгом, плаванням і серфінгом. Дарма що в дитинстві їй було важко з математикою, бо не бачила її актуальності, тепер вона може бачити математику всюди навколо себе, від динаміки океанів до оптимізації, пов’язаної з максимізацією часу під водою. Тепер, як професор математики в Гавайському університеті в Маноа, Лінда допомагає студентам побачити, як математика пов’язана з їхньою культурною історією. Вона показує студентам, як бачення світу очима математичного дослідника може допомогти їм зрозуміти морську біологію та охорону природи — лінійні функції, що моделюють, як коралові рифи очищаються від інвазивних водоростей, матриці, що описують збирання океанського сміття, і квадратні рівняння, пов’язані з підтримкою обмеженого рівня ресурсів острова. Вона веде студентів у плавання на «Hōkūle‘a» (Зірка радості), двокорпусному каное Полінезійського товариства мандрівників, на якому вони дізнаються про традиційну практику орієнтування серед корінних народів Гаваїв і Тихого океану.[11] Такі методи спираються лише на спостерігальні підказки від природи та небес для орієнтування без інструментів. За останні чотири десятиліття «Hōkūle‘a» пропливла понад 160 000 морських миль, зокрема відбула всесвітню подорож «Mālama Honua» (розпочату у 2013 році), розвіявши будь-які сумніви щодо надійності цієї стародавньої практики.[12] Роль Лінди — початківець-навігатор і освітній фахівець з питань суші та моря. Вона допомагає студентам вивчати тригонометрію та числення, вбудовані в знання динаміки вітру та механіки вітрил, і чому вони важливі поза запам’ятовуванням формул:
Я вважаю важливим, щоб учні знали те, що написано в наших підручниках, бо вони містять важливу інформацію. Однак не менш важливе те, що наші учні розуміють і усвідомлюють, що їхні предки пропливли тисячі миль через Тихий океан без жодного сучасного навігаційного інструменту — за сонцем, місяцем, зорями, вітрами, припливами, патернами перелітних птахів тощо. Вони долали океанські дороги в минулому, і наші учні здатні робити те саме всередині та за межами наших класних кімнат сьогодні.[13]
Дійсно, мореплавці були математичними дослідниками свого суспільства, використовуючи уважне вивчення, логічне міркування та просторову інтуїцію для розв’язання проблем, з якими вони стикалися в цей культурний момент. Математичні дослідники були частиною кожної цивілізації в усіх куточках землі, і Лінда вбачає важливість у тому, щоб провести пряму лінію від математичних дослідників у культурній історії своїх учнів до математичної ідентичності, яку вона хотіла б, щоб вони прийняли.
У вас є проблеми, які ви хочете розв’язати? Океани, якими ви хочете плавати? Патерни в яскравих сферах вашого життя, які ви хочете зрозуміти? Тоді ви можете стати математичним дослідником, бо народилися з людською здатністю досліджувати та міркувати. Мрійте про сонце, місяць, зорі та світ, який ви відкриєте. На вас чекають фантазії, творчість і несподівані чари.

СУДОКУ «З ПОДІЛОМ»
Судоку – це головокрутка, яку ви розв’язуєте досліджуючи. Цю незвичайну версію люб’язно надали Філіп Райлі та Лаура Таалман із «Брайнфріз пазлес» (Brainfreeze Puzzles) із їхньої книжки «Голе судоку»a. Немає числових підказок (вона «гола»), але вона має унікальний розв’язок.
Правила: заповніть клітинки ґратки так, щоб числа від 1 до 9 з’являлися рівно один раз у кожному рядку, стовпчику та блоці три на три (звичайні правила судоку). Крім того, кожного разу, коли значення клітинки точно ділить значення одного з її сусідів у межах блоку три на три, їхня спільна межа позначається символом ⊂, орієнтація якого нам дещо говорить: клітинка A ⊂ клітинка B вказує, що значення клітинки A точно ділить значення клітинки B. Також надається кілька символів «більше» (>).

Початок роботи: Ви можете спочатку подумати, на які числа діляться інші. Наприклад, 4 ділить 8, отже 4 ⊂ 8. Крім того, 1 ділить 3, а 3 ділить 9, отже, 1 ⊂ 3 ⊂ 9. Одиниці зазвичай легко розставити, бо 1 однаково ділить усі числа від 1 до 9.

a. Philip Riley and Laura Taalman, Brainfreeze Puzzles, Naked Sudoku (New York: Puzzlewright, 2009), 125.

Квітень 16, 2014
Дякую, що відповіли на мого листа. Я вважаю, що це було дуже люб’язно та щедро з вашого боку виділити час у своєму насиченому графіку, щоб прочитати, розглянути та відповісти на мого листа, і я дуже це ціную. Так, я все ще продовжую вивчати математику: це допомагає мені продуктивно проводити час і дає мету, на якій я можу зосередитись у найближчому, близькому та віддаленому майбутньому. Це дає мені особисте задоволення, а також особисту надію, тому що тепер я знаю, що ми можемо стати лише тим, до чого прагнемо... .
Мої знання математики не виходять за межі «Числення II». Я ніколи не вивчав підручники з теорії чисел, чи прикладних алгебричних систем, чи подібних предметів. У мене тут є книжка [поглиблена теорія чисел]... з якою морочуся, але через те, що я не знаю багато про теорію чисел, то не можу дістати від неї так багато, як міг би. Коли я зростаю як особистість і мисленик, я (здається, один із небагатьох) більше ціную абстракцію. А математика, бувши основою науки та основою наших подальших наукових відкриттів і технологічного прогресу, – дисципліна, що насичена абстракцією і має величезне практичне значення. Абстракція математики та її важливість у всьому практичному – це те, що мене спантеличило та викликало цікавість у математиці.
Кріс
Відповісти

Повернутись до “Пропоновані до видання книжки”